Question

在探究矩形的性质时，小明得到了一个有趣的结论：矩形两条对角线的平方和等于四条边的平方和．如图1，在矩形ABCD中，由勾股定理，得AC²=AB²+BC²，BD²=AB²+AD²，又CD=AB，AD=BC，所以AC²+BD²=AB²+BC²+CD²+AD²=2（AB²+BC²）．
小亮对菱形进行了探究，也得到了同样的结论，于是小亮猜想：任意平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和．请你解决下列问题：
（1）如图2，已知：四边形ABCD是菱形，求证：AC²+BD²=2（AB²+BC²）；
（2）你认为小亮的猜想是否成立，如果成立，请利用图3给出证明；如果不成立，请举反例说明；
（3）如图4，在△ABC中，BC、AC、AB的长分别为a、b、c，AD是BC边上的中线．试求AD的长．（结果用a，b，c表示）

Answer

（1）设AC与BD相交于点O，根据四边形ABCD是菱形，得出AC=2OA，BD=2OB，利用勾股定理，得OA2+OB2=AB2，再利用AB=BC，即可求证AC2+BD2=2（AB2+BC2）．
（2）作AE⊥BC于点E，DF⊥BC交BC的延长线于F，再根据四边形ABCD是平行四边形，求证△ABE≌△DCF，得出AE=DF，BE=CF，由勾股定理得AC2=AE2+EC2=AE2+（BC-BE）2，BD2=DF2+BF2=DF2+（BC+CF）2=AE2+（BC+BE）2
（3）延长AD到E，使DE=AD，连接BE，CE，则AE=2AD，求证四边形ABEC是平行四边形，由（2）的结论，得AE2+BC2=2（AB2+AC2），解得AD2=．
【解析】
（1）如图2，设AC与BD相交于点O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AC=2OA，BD=2OB．
在Rt△AOB中，由勾股定理，得
OA2+OB2=AB2，
∴AC2+BD2=4OA2+4OB2=4（OA2+OB2）=4AB2，
又∵AB=BC，
∴AC2+BD2=2（AB2+AB2）=2（AB2+BC2）．

（2）小亮的猜想成立．
证明：作AE⊥BC于点E，DF⊥BC交BC的延长线于F，
则∠AEB=∠DFC=90°．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=DC，AB∥CD，
∴∠ABE=∠DCF，
∴△ABE≌△DCF，
∴AE=DF，BE=CF．
在Rt△ACE和Rt△BDF中，由勾股定理，得
AC2=AE2+EC2=AE2+（BC-BE）2，
BD2=DF2+BF2=DF2+（BC+CF）2=AE2+（BC+BE）2，
∴AC2+BD2=2AE2+2BC2+2BE2=2（AE2+BE2）+2BC2．
又AE2+BE2=AB2，
故AC2+BD2=2（AB2+BC2）．

（3）延长AD到E，使DE=AD，连接BE，CE，则AE=2AD．
∵BD=CD，
∴四边形ABEC是平行四边形．
由（2）的结论，得
AE2+BC2=2（AB2+AC2），
即（2AD）2+a2=2（b2+c2），
解得AD2=，
故AD=．