Question

已知：α，β（α＞β）是一元二次方程x²-x-1=0的两个实数根，设s₁=α+β，s₂=α²+β²，…，s_n=αⁿ+βⁿ．根据根的定义，有α²-α-1=0，β²-β-1=0，将两式相加，得（α²+β²）-（α+β）-2=0，于是，得s₂-s₁-2=0．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）利用配方法求α，β的值，并直接写出s₁，s₂的值；
（2）猜想：当n≥3时，s_n，s_n-1，s_n-2之间满足的数量关系，并证明你的猜想的正确性；
（3）根据（2）中的猜想，直接写出的值．

Answer

（1）此小题只需对x2-x=1配方解得x的值即为α，β的值，再由s1=α+β，s2=α2+β2求得s1，s2的值；
（2）此小题可猜想得到sn=sn-1+sn-2，再根据根的定义证明即可；
（3）由（2）可得出即为S8的值，依次计算求得S8的值即可．
【解析】
（1）移项，得x2-x=1，
配方，得，
即，
开平方，得，即，
所以，，．
于是，s1=1，s2=3；

（2）猜想：sn=sn-1+sn-2．
证明：根据根的定义，α2-α-1=0，
两边都乘以αn-2，得 αn-αn-1-αn-2=0，①
同理，βn-βn-1-βn-2=0，②
①+②，得（αn+βn）-（αn-1+βn-1）-（αn-2+βn-2）=0，
因为 sn=αn+βn，sn-1=αn-1+βn-1，sn-2=αn-2+βn-2，
所以 sn-sn-1-sn-2=0，
即sn=sn-1+sn-2．

（3）47．
理由：由（1）知，s1=1，s2=3，由（2）中的关系式可得：
s3=s2+s1=4，s4=s3+s2=7，s5=7+4=11，s6=11+7=18，s7=18+11=29，s8=29+18=47．
即．