Question

（2006•锦州）在一次研究性学习活动中，李平同学看到了工人师傅在木板上画一个直角三角形，方法是（如图）：画线段AB，分别以点A，B为圆心，以大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点C，连接AC；再以点C为圆心，以AC长为半径画弧，交AC延长线于点D，连接DB，则△ABD就是直角三角形．
（1）请你说明其中的道理；
（2）请利用上述方法作一个直角三角形，使其一个锐角为30°（不写作法，保留作图痕迹）．

Answer

（1）由作图可知，△ABC是以点C为圆心，AD为直径的圆内接三角形，故由直径对的圆周角定理是直角知，∠ABC=90°；
（2）线段EF，分别以点E，F为圆心，以EF的长为半径画弧，两弧相交于点C，连接EC；再以点C为圆心，以EC长为半径画弧，交EC延长线于点G，连接FG．则△EFG就是直角三角形，其中∠EGF=30°．
【解析】
（1）理由：
方法一：连接BC，
由作图可知，AC=BC=CD
∴∠A=∠ABC，∠CBD=∠CDB（1分）
∵∠A+∠ABC+∠CBD+∠CDB=180°
∴2∠ABC+2∠CBD=180°
∴∠ABC+∠CBD=90度．即∠ABD=90°
∴△ABD是直角三角形；（3分）
方法二：连接BC，
由作图可知，AC=BC=CD，AD=AC+CD（1分）
∴BC=AD（2分）
∴△ABD是直角三角形；（3分）

（2）如图所示，（7分）
则△EFG就是所求作的直角三角形，其中∠EGF=30°．