Question

已知：正方形ABCD中，点F为边CD的中点，DF=3，连接AF并延长，与BC的延长线交于G点．
（1）连接BF（如图1），在不添加任何辅助线的条件下，请找出所有相似的三角形，并选择其中的一对加以证明；
（2）E是边CB上一动点，连接EF，M为AD上任意一点，且MF⊥EF，连接ME（如图2）．若△MEF与△ADF相似，求EB的长．

Answer

（1）首先由已知得到三个全等三角形，△ADF≌△BCF≌△CFG，然后已知图形得△CFG∽△ABG，所以写出所有相似的三角形为：△CFG∽△BFC∽△ADF∽△ABG．
（2）先由△ADF与△MEF相似，再延长MF，与BG交于N点推出∴△MDF≌△CFN，MF=FN，△MFE≌△NFE，最后证得△DAF∽△CFE，求出EB的长．
【解析】
（1）由已知正方形ABCD和点F为边CD的中点，得：
AD=BC，DF=CF，
∠ADF=∠BCF=90°，∠CFG=∠DFA（对顶角），∠FCG=∠FDA=90°，
∴△ADF≌△BCF≌△CFG
所以写出所有相似的三角形为：△CFG∽△BFC∽△ADF∽△ABG，
选：△CFG和△ABG．
∵四边形ABCD是正方形，
∴CD∥AB
∴∠ABG=∠FCG，∠BAG=∠CFG
∴△CFG∽△ABG；

（2）若△ADF与△MEF相似
∵∠ADF=∠EFM=90°
（Ⅰ）∠DAF=∠MEF
延长MF，与BG交于N点
∵F为CD中点
∴DF=CF
∵∠D=∠DCN=90°，∠DFM=∠CFN
∴△MDF≌△CFN，MF=FN，
∵∠MFE=∠NFE=90°，FB=FB
∴△MFE≌△NFE，∠MEF=∠FEN=∠DAF
又∵AD∥BG
∴∠DAF=∠G
∴∠G=∠FEG=∠MEF
∴EF=FG（7分）
∴E与B重合，即EB=0，
（Ⅱ）∠EMF=∠DAF
∵∠DAF=∠G
∴∠EMF=∠G
∴M与A点重合
易证△DAF∽△CFE，
∴
代入解得CE=，
∴BE=6-=，
综上所述，当BE=0或时，△MEF与△ADF相似．