Question

（2008•仙桃）小华将一张矩形纸片（如图1）沿对角线CA剪开，得到两张三角形纸片（如图2），其中∠ACB=α，然后将这两张三角形纸片按如图3所示的位置摆放，△EFD纸片的直角顶点D落在△ACB纸片的斜边AC上，直角边DF落在AC所在的直线上．
（1）若ED与BC相交于点G，取AG的中点M，连接MB、MD，当△EFD纸片沿CA方向平移时（如图3），请你观察、测量MB、MD的长度，猜想并写出MB与MD的数量关系，然后证明你的猜想；
（2）在（1）的条件下，求出∠BMD的大小（用含α的式子表示），并说明当α=45°时，△BMD是什么三角形；
（3）在图3的基础上，将△EFD纸片绕点C逆时针旋转一定的角度（旋转角度小于90°），此时△CGD变成△CHD，同样取AH的中点M，连接MB、MD（如图4），请继续探究MB与MD的数量关系和∠BMD的大小，直接写出你的猜想，不需要证明，并说明α为何值时，△BMD为等边三角形．

Answer

（1）易得MB和DM分别是直角三角形ABG和直角三角形ADG斜边上的中线，都等于AG的一半，那么BM=DM．
（2）把∠BMD进行合理分割，应用外角等于内角和，得到∠BMD与∠BAD之间的关系，进而得到与∠ACB即∠α之间的关系，当∠α=45°时，∠BMD=90°，那么△BMD为等腰直角三角形．
（3）通过类比思想可猜想MB与MD的数量关系和∠BMD的大小结论依然成立．那么只有当∠α=60°时，△BMD为等边三角形．
【解析】
（1）MB=MD，
证明：∵AG的中点为M∴在Rt△ABG中，MB=AG
在Rt△ADG中，MD=AG
∴MB=MD．

（2）∵∠BMG=∠BAM+∠ABM=2∠BAM，
同理∠DMG=∠DAM+∠ADM=2∠DAM，
∴∠BMD=2∠BAM+2∠DAM=2∠BAC，
而∠BAC=90°-α，
∴∠BMD=180°-2α，
∴当α=45°时，∠BMD=90°，此时△BMD为等腰直角三角形．

（3）当△CGD绕点C逆时针旋转一定的角度，仍然存在MB=MD，
∠BMD=180°-2α，
故当α=60°时，△BMD为等边三角形．
解法：延长DM至N，使MN=DM，连AN、BN、BD，则有AN=DH，∠NAM=∠DHM

∵∠1=∠AHD+∠2
∴∠BAM+90°=∠AHD+90°-∠DCB，
∴∠NAB=∠DCB，
∵∠CDH=∠ABC=90°，∠DCH=∠BCA，
∴△CDH∽△CBA，
∴DH：AB=CD：BC，
∴AN：AB=CD：BC，
∴△NAB∽△DCB，
∴∠NBA=∠DBC
∴∠NBD=90°，
∴BM=MD，
由△NAB∽△DCB得NB：AB=BD：BC
∴△NBD∽△ABC，
∴∠BNM=∠BAC，
∵∠BMD=2∠BNM
∴∠BMD=2（90°-α）=180°-2α．