Question

（1999•温州）如图，⊙O₁与⊙O₂内切于点P，过P的直线交⊙O₁于A，交⊙O₂于B，AC切⊙O₂于C，交⊙O₁于D，且PB、PD的长恰好是关于x的方程的两个根．
（1）求证：∠1=∠2；
（2）求PC的长；
（3）若弧BP=弧BC，且S_△PBC：S_△APC=1：k，求代数式m（k²-k）的值．

Answer

（1）两圆内切，通常是作两圆的公切线，此题也不例外．过P作两圆的公切线MN，根据弦切角定理，易证得∠MPA=∠PCB=∠D，而AD是⊙O2切线，所以∠PCD=∠PBC，由此可证得△PBC∽△PCD，即可得到∠1=∠2．
（2）通过（1）题相似三角形所得到的比例线段，即可得到PC2=PB•PD，根据韦达定理可知PB•PD=4，由此可求出PC的长．
（3）由于△PBC和△APC等高不同底，所以面积比等于底边的比，即AB：AP=（k-1）：k；由于弧BP=弧BC，则∠1=∠BCP=∠2，由此可证得PD∥BC，则△ABC∽△APD，故BC：PD=（k-1）：k，而BC=PB，代入上式可求得PD的表达式，根据韦达定理可求得PB+PD的值，即可得到PB的表达式，将PB、PD的值代入PB•PD=4中，即可求出代数式的值．
（1）证明：过P作两圆的公切线MN，则有：
∠MPA=∠PCB=∠D；
又∵AD是⊙O2的切线，
∴∠PCD=∠PBC，
∴△PBC∽△PCD，
∴∠1=∠2．

（2）【解析】
由（1）知：△PBC∽△PCD，得：
PB：PC=PC：PD，即PC2=PB•PD；
∵PB、PD的长是关于x的方程的两个根，
∴PB•PD=4，
∴PC2=4，即PC=2．

（3）【解析】
∵S△PBC：S△APC=1：k，
∴AP：BP=k：1，即AB：AP=（k-1）：1；
∵，
∴∠1=∠BCP，BP=BC；
又∵∠1=∠2，
∴∠2=∠BCP；
∴BC∥PD，
∴△ABC∽△APD，
∴，即；
∴，即PB=PD，
又∵PB+PD=，
∴PB=，PD=；
∵PB•PD=4，即：
×=4，
化简得：k（k-1）（m+16）=4（2k-1）2，即：
（m+16）k2-（m+16）k=16k2-16k+4，
mk2-mk=4，即m（k2-k）=4．