Question

（2000•武汉）抛物线y=x²+（k+）x+（k+1）（k为常数）与x轴交于A（x₁，0）、B（x₂，0）（x₁＜0＜x₂）两点，与y轴交于C点，且满足（OA+OB）²=OC²+16．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）设M、N是抛物线在x轴上方的两点，且到x轴的距离均为1，点P是抛物线的顶点，问：过M、N、C三点的圆与直线CP是否只有一个公共点C？试证明你的结论．

Answer

（1）由（OA+OB）2=OC2+16，可以解得k的值．
（2）由抛物线上的点M、N在x轴上方，且到x轴距离均为1，设MN交y轴于E，求出M、N两点坐标，在Rt△MEC中，MC2=5，同理NC2=20，又∵MN2=25，MN2+MC2=NC2，可证MN是过M、N、C三点的圆的直径，作CF⊥DP于F，连接CD，则CFDE为矩形，在Rt△MEC中和△CDP中，可知即CP2+CD2=DP2，进而证明．
【解析】
（1）∵（OA+OB）2=OC2+16，
∴（-x1+x2）2=OC2+16，
∴4（k+）2-4×2×（k+1）=（k+1）2+16，
解得k1=-2，k2=4．
∵x1＜0＜x2，
∴x1•x2=2（k+1）＜0，
即k＜-1，
∴k=-2．
∴抛物线解析式为y=x2-x-1

（2）过M、N、C三点的圆与直线CP只有一个公共点C．证明如下：
如图，∵抛物线上的点M、N在x轴上方，且到x轴距离均为1，设MN交y轴于E，
则M（-1，1），N（4，1），且C（0，-1），P（，-），
在Rt△MEC中，MC2=5，同理NC2=20，
又∵MN2=25，MN2-MC2=NC2，
∴∠MCN=90°．
故MN是过M、N、C三点的圆的直径，圆心D（，1），
作CF⊥DP于F，连接CD，
则CFDE为矩形．
FD=CE=2，CF=ED=，
又∵PF=，
在Rt△CFP中，CP2=CF2+PF2=（）2+（）2=，
在△CDP中，DP2-CD2=（）2-（）2==CP2，
即CP2+CD2=DP2，
∴CP⊥CD，直线CP与⊙D相切于点C，
故直线CP和过M、N、C三点的圆只有一个公共点C．