Question

（2004•武汉）已知：如图，⊙O₁与⊙O₂外切于C点，AB一条外公切线，A、B分别为切点，连接AC、BC．设⊙O₁的半径为R，⊙O₂的半径为r，若tan∠ABC=，则的值为（ ）

A．
B．
C．2
D．3

Answer

根据切线长定理先证明∠ACB=90°，得直角三角形ABC；再由tan∠ABC==，得两圆弦长的比；进一步求半径的比．
【解析】
如图，连接O2B，O1A，过点C作两圆的公切线CF，交于AB于点F，作O1E⊥AC，O2D⊥BC，
由垂径定理可证得点E，点D分别是AC，BC的中点，
由弦切角定理知，
∠ABC=∠FCB=∠BO2C，∠BAC=∠FCA=∠AO1C，
∵AO1∥O2B，
∴∠AO1C+∠BO2C=180°，
∴∠FCB+∠FCA=∠ACB=90°，
即△ACB是直角三角形，
∴∠ABC=∠BO2D=∠ACO1，
设∠ABC=∠BO2D=∠ACO1=β，
则有sinβ=，cosβ=，
∴tanβ=•=•，
∴（tanβ）2==2．
故选C．