Question

（2004•扬州）已知关于x的方程（k-3）x²+kx+1=0：
（1）求证不论k取何值，方程总有实数根；
（2）当k=4时，设该方程的两个实数根为α、β，求作一个以和为根的一元二次方程．

Answer

（1）利用一元二次方程根的判别式即可证明；
（2）利用根与系数的关系把所求代数式化简，然后再利用根与系数的关系解答．
【解析】
（1）∵△=k2-4（k-3）=k2-4k+12=（k-2）2+8＞0，
∴不论k取何值，方程总有实数根；

（2）依题意得α+β=-4，αβ=1，
以和为根的一元二次方程为y2-（+）y+×=0-----①，
当k=4时，原方程可化为x2+4x+1=0，
α、β为x2+4x+1=0的根，
所以α2+1=-4α，β2+1=-4β，
代入①得，y2-（+）y+1=0，
化为y2-（+）y+1=0，
∴y2-[]y+1=0，
因为x2+4x+1=0两个实数根为α、β，所以α+β=-4，αβ=1，
代入y2-[]y+1=0可化为y2+14y+1=0．