Question

（2005•安徽）在一次课题学习中活动中，老师提出了如下一个问题：
点P是正方形ABCD内的一点，过点P画直线l分别交正方形的两边于点M、N，使点P是线段MN的三等分点，这样的直线能够画几条？
经过思考，甲同学给出如下画法：
如图1，过点P画PE⊥AB于E，在EB上取点M，使EM=2EA，画直线MP交AD于N，则直线MN就是符合条件的直线l．
根据以上信息，解决下列问题：
（1）甲同学的画法是否正确？请说明理由；
（2）在图1中，能否画出符合题目条件的直线？如果能，请直接在图1中画出；
（3）如图2，A₁，C₁分别是正方形ABCD的边AB、CD上的三等分点，且A₁C₁∥AD．当点P在线段A₁C₁上时，能否画出符合题目条件的直线？如果能，可以画出几条？
（4）如图3，正方形ABCD边界上的A₁，A₂，B₁，B₂，C₁，C₂，D₁，D₂都是所在边的三等分点．当点P在正方形ABCD内的不同位置时，试讨论，符合题目条件的直线l的条数的情况．

Answer

（1）利用△MPE∽△MNA中的成比例线段可知EM=2EA，所以MP：MN=2：3，即点P是线段MN的一个三等分点；
（2）由（1）中的证明过程可知，在EB上取M1，使EM1=AE，直线M1P就是满足条件的直线，所以能画出一条符合题目条件的直线；
（3）当点P在线段A1C1上，根据正方形的性质可知能够画出符合题目条件的直线有无数条；
（4）分情况讨论．
【解析】
（1）甲同学的画法正确；
∵PE∥AD，
∴△MPE∽△MNA，
∴，
∵EM=2EA，
∴MP：MN=2：3，
∴点P是线段MN的一个三等分点．

（2）能画出一个符合题目条件的直线，在EB上取M1，使EM1=AE，直线M1P就是满足条件的直线，图2；

（3）若点P在线段A1C1上，能够画出符合题目条件的直线无数条，图3；

（4）若点P在A1C1，A2C2，B1D1，B2D2上时，可以画出无数条符合条件的直线l；
当点P在正方形ABCD内部时，不存在这样的直线l，使得点P是线段MN的三等分点；
当点P在矩形ABB1D1，CDD2B2，ADD2D1，BB1B2C内部时，过点P可画出两条符合条件的直线l，使得点P是线段MN的三等分点．