（2005•南通）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F分别是O...

（2005•南通）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F分别是OA、OB的中点．
（1）求证：△ADE≌△BCF；
（2）若AD=4cm，AB=8cm，求CF的长．

（1）根据矩形的对边相等、对角线相等且相互平分等性质可证△ADE≌△BCF；（2）要求CF的长，若CF在一直角三角形中，则可用勾股定理求解．由此需要添加辅助线，过点F作FG⊥CD于点G，则△DFG∽△DBC；由（1）的结论可得DF=3FB，则可算出FG、DG的值，进而求得CF的长．（1）证明：∵四边形ABCD为矩形 ∴AD=BC，OA=OC，OB=OD，AC=BD，AD∥BC ∴OA=OB=OC，∠DAE=∠OCB（两直线平行，内错角相等） ∴∠OCB=∠OBC ∴∠DAE=∠CBF 又∵AE=OA，BF=OB ∴AE=BF ∴△ADE≌△BCF；（2）【解析】过点F作FG⊥CD于点G， ∴∠DGF=90° ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠DCB=90° ∴∠DGF=∠DCB 又∵∠FDG=∠BDC ∴△DFG∽△DBC ∴ 由（1）可知F为OB的中点，所以DF=3FB，得 ∴ ∴FG=3，DG=6 ∴GC=DC-DG=8-6=2 在Rt△FGC中，cm．（说明：其他解法可参照给分，如延长CF交AB于点H，利用△DFC∽△BFH计算．）

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考点分析：

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研究：
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（2）三角板绕点P旋转，△PBE是否能成为等腰三角形？若能，指出所有情况（即写出△PBE为等腰三角形时CE的长）；若不能，请说明理由；
（3）若将三角板的直角顶点放在斜边AB上的M处，且AM：MB=1：3，和前面一样操作，试问线段MD和ME之间有什么数量关系？并结合图4加以证明．
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（2）AD•BE=DE•BC；
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试题属性

题型：解答题
难度：中等