Question

（2005•宜昌）如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使DC=BD，连接AC交⊙O于点F．
（1）AB与AC的大小有什么关系？为什么？
（2）按角的大小分类，请你判断△ABC属于哪一类三角形，并说明理由．

小明按下面的方法作出了∠MON的平分线：
①反向延长射线OM；
②以点O为圆心，任意长为半径作圆，分别交∠MON的两边于点A、B，交射线OM的反向延长线于点C；
③连接CB；
④以O为顶点，OA为一边作∠AOP=∠OCB．
（1）根据上述作图，射线OP是∠MON的平分线吗？并说明理由．
（2）若过点A作⊙O的切线交射线OP于点F，连接AB交OP于点E，当∠MON=60°、OF=10时，求AE的长．

Answer

1．（1）连接AD，通过AD是BC的垂直平分线得出AB=AC．
（2）由于AD⊥BC很明显∠B，∠C都是锐角，那么同理如果连接BF，那么∠BAC也应是锐角，因此三角形ABC是锐角三角形．
2．（1）OP是角平分线，根据圆周角定理可得出∠ACB是∠AOB的一半，而∠AOF=∠OCB，那么就能得出∠AOF=∠BOF，由此可得证．
（2）由于三角形OAB是等边三角形，因此只要求出半径的长就求出了AB的长，也就知道了AE的值，那么在直角三角形OAF中，有OF的长，有∠AOF=30°，那么可求出OA的长，从而得到了AB，AE的长．
【解析】
（1）连接AD．
∵AB是⊙O的直径，
∴AD⊥BC，
∵BD=CD，
∴AB=AC；

（2）连接AD．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°．
∴∠B＜∠ADB=90°
∠C＜∠ADB=90°
∴∠B、∠C为锐角，
∵AC和⊙O交于点F，连接BF，
∴∠A＜∠BFC=90°
∴△ABC为锐角三角形；

①∵∠AOF=∠OCB
又∵∠BOA=2∠OCB
∴∠AOF=∠BOF
∴OP为∠BOA的角平分线

②∵∠MON=60°
∴△AOB为正三角形
∵OP平分∠MON
∴AE=BE=AB
∵OP平分∠BOD
∴∠BOF=30°
又∵AF与⊙O相切
∴AF⊥AO
∵AO=5
∴AB=AO=5
∴AE=．