Question

（2005•海淀区）已知△ABC，分别以AB、BC、CA为边向形外作等边三角形ABD、等边三角形BCE、等边三角形ACF．
（1）如图1，当△ABC是等边三角形时，请你写出满足图中条件，四个成立的结论；
（2）如图2，当△ABC中只有∠ACB=60°时，请你证明S_△ABC与S_△ABD的和等于S_△BCE与S_△ACF的和．

Answer

（1）由等边三角形的性质可写出结论．
（2）要证明以上结论，需创造一些条件，首先可从△ABC中分出一部分使得与△ACF的面积相等，则过A作AM∥FC交BC于M，连接DM、EM，就可创造出这样的条件，然后再证其它的面积也相等即可．
（1）【解析】
DE=EF，DF=EF，∠D=∠E=∠F，A、B、C分别为DF、DE、EF的中点．

（2）证明：过A作AM∥FC交BC于M，连接DM、EM，
∵∠ACB=60°，∠CAF=60°，
∴∠ACB=∠CAF，
∴AF∥MC，
∴四边形AMCF是平行四边形，
又∵FA=FC，
∴四边形AMCF是菱形，
∴AC=CM=AM，且∠MAC=60°，
∵在△BAC与△EMC中，
CA=CM，∠ACB=∠MCE，CB=CE，
∴△BAC≌△EMC，
∵∠DAM=∠DAB+∠BAM=60°+∠BAM
∠BAC=∠MAC+∠BAM=60°+∠BAM
∴∠BAC=∠DAM
在△ABC和△ADM中
AB=AD，∠BAC=∠DAM，AC=AM
∴△ABC≌△ADM（SAS）
故△ABC≌△MEC≌△ADM，
在CB上截取CM，使CM=CA，
再连接AM、DM、EM （辅助线这样做△AMC就是等边三角形了，后边证明更简便）
易证△AMC为等边三角形，
在△ABC与△MEC中，
CA=CM，∠ACB=∠MCE，CB=CE，
∴△ABC≌△MEC（SAS），
∴AB=ME，∠ABC=∠MEC，
又∵DB=AB，
∴DB=ME，
∵∠DBC=∠DBA+∠ABC=60°+∠ABC，
∠BME=∠BCE+∠MEC=60°+∠MEC，
∴∠DBC=∠BME，
∴DB∥ME，
即得到DB与ME平行且相等，故四边形DBEM是平行四边形，
∴四边形DBEM是平行四边形，
∴S△BDM+S△DAM+S△MAC=S△BEM+S△EMC+S△ACF，
即S△ABC+S△ABD=S△BCE+S△ACF．