Question

（2005•河南）如图1，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=5，点M在边AB上，且AM=6．
（1）动点D在边AC上运动，且与点A，C均不重合，设CD=x．
①设△ABC与△ADM的面积之比为y，求y与x之间的函数关系式（写出自变量的取值范围）；
②当x取何值时，△ADM是等腰三角形？写出你的理由．
（2）如图2，以图1中的为一组邻边的矩形中，动点在矩形边上运动一周，能使是M为顶角的等腰三角形共有多少个？（直接写结果，不要求说明理由）

Answer

（1）△ABC的面积易求，△ADM的面积应利用相似比表示出AD及AD边上的高，然后求出面积比值，△ADM是等腰三角形，两腰是不确定的，所以应分AM=DM，AM=AD，DM=AD来分别讨论；
（2）M为顶角，那么AM=DM，只需作出M为圆心，MA=6为半径的圆，看与矩形有几个交点即可．
【解析】
（1）①∵Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=5，
∴S△ABC=30，AB=13，
过M作MH⊥AC于H，则MH∥BC，
∴，
∴MH=，
∵CD=x，
∴AD=12-x，
∴S△ADM=（12-x），
∴y=（0＜x＜12）；

②（i）当AD=AM=6，即x=6时，△ADM为等腰三角形；
（ii）当AM=MD时，AD=2AH．
∴AH==，
∴AD=，
即x=12-=时，△ADM为等腰三角形；
（iii）当AD=MD时，
∵AD=12-x，AH=，
∴HD=-（12-x）=x-，
∵MH2+HD2=MD2，
∴（）2+（x-）2=（12-x）2，
解得：x=时，△ADM为等腰三角形．

（2）4个．
（根据题意，以M为圆心，MA=6为半径作圆，与AC、AE、BE三边共有包括A点在内的5个交点，所以符合条件的等腰三角形共有4个）