Question

（2005•广州）如图，在直径为6的半圆上有两动点M、N，弦AM、BN相交于点P，则AP•AM+BP•BN的值为    ．

Answer

连接AN、BM，根据圆周角定理，由AB是直径，可证∠AMB=90°，由勾股定理知，BP2=MP2+BM2，由相交弦定理知，AP•PM=BP•PN，原式=AP（AP+PM）+BP（BP+PN）=AP2+AP•PM+BP2+BP•PN=AP2+BP2+2AP•PM=AP2+MP2+BM2+2AP•PM=AP2+（AP+PM）2=AP2+AM2=AB2=36．
【解析】
连接AN、BM，
∵AB是直径，
∴∠AMB=90°．
∴BP2=MP2+BM2
∵AP•PM=BP•PN
原式=AP（AP+PM）+BP（BP+PN）=AP2+AP•PM+BP2+BP•PN
=AP2+BP2+2AP•PM
=AP2+MP2+BM2+2AP•PM
=BM2+（AP+PM）2=BM2+AM2=AB2=36．