Question

（2007•聊城）（1）如图1是一个重要公式的几何解释．请你写出这个公式；
（2）如图2，Rt△ABC≌Rt△CDE，∠B=∠D=90°，且B，C，D三点共线．试证明∠ACE=90°；
（3）伽菲尔德（Garfield，1881年任美国第20届总统）利用（1）中的公式和图2证明了勾股定理（1876年4月1日，发表在《新英格兰教育日志》上），现请你尝试该证明过程．

Answer

（1）用面积分割法证明：大正方形的面积等于小正方形和两个长方形的面积之和，从而推出平方和公式．
（2）利用全等三角形对应角相等，直角三角形的两个锐角互余，推出直角；
（3）用面积分割法法证明勾股定理：梯形ABDE的面积=三角形ABC的面积+三角形CDE的面积+三角形ACE的面积．
【解析】
（1）这个公式为（a+b）2=a2+2ab+b2；
证明：由图可知大正方形被分成了一个小正方形和两个长方形，
大正方形的面积=（a+b）2，两个长方形的面积=（a+b）b+ab，
小正方形的面积=a2，那么大正方形的面积=（a+b）b+ab+a2=（a+b）2=a2+2ab+b2．

（2）∵△ABC≌△CDE，
∴∠BAC=∠DCE，
∴∠ACB+∠DCE=∠ACB+∠BAC=90°；
由于B，C，D共线，所以∠ACE=180°-（∠ACB+∠DCE）=180°-90°=90°．

（3）梯形ABDE的面积为（AB+ED）•BD=（a+b）（a+b）=（a+b）2；
另一方面，梯形ABDE可分成三个直角三角形，其面积又可以表示成ab+ab+c2．
所以，（a+b）2=ab+ab+c2．
即a2+b2=c2．