Question

（2009•湘西州）如图，等腰直角△ABC腰长为a，现分别按图1，图2方式在△ABC内内接一个正方形ADFE和正方形PMNQ．设△ABC的面积为S，正方形ADFE的面积为S₁，正方形PMNQ的面积为S₂．

（1）在图1中，求AD：AB的值；在图2中，求AP：AB的值；
（2）比较S₁+S₂与S的大小．

Answer

（1）图1：根据等腰三角形的性质求解；图2：同图1的证法；
（2）由（1）得出的AB、AD、AP、AB的关系，然后用a表示出AB、AD、AP的值，这样就能表示出S1、S2和S，然后进行比较即可．
【解析】
（1）图1中，∵AD=DF，∠B=45°，
∴DF=DB，
∴AD=DB，
∴AD：AB=1：2，
图2中，∵PM=MN，∠B=45°，
∴PM=MB，
∴MN=MB，
∴MN=MB=NC，
∴AP：AB=PQ：BC=MN：BC=1：3；

（2）图1中，S1=（a）2=，
∵PQ：BC=AP：AB=1：3，
∴PQ=，
∴S2=（）2=，
∴S1+S2=（）a2=，
∵S==，
∴S1+S2＜S．