Question

（2009•绍兴）若从矩形一边上的点到对边的视角是直角，则称该点为直角点．例如，如图的矩形ABCD中，点M在CD边上，连AM，BM，∠AMB=90°，则点M为直角点．
（1）若矩形ABCD一边CD上的直角点M为中点，问该矩形的邻边具有何种数量关系？并说明理由；
（2）若点M，N分别为矩形ABCD边CD，AB上的直角点，且AB=4，BC=，求MN的长．

Answer

（1）根据已知条件即可证明三角形ADM是等腰直角三角形，则该矩形的长是宽的2倍；
（2）作MH⊥AB于点H，能够据一已知条件求得构造的直角三角形的两条直角边．
【解析】
（1）AB=2AD．
理由如下：
∵直角点M为CD边的中点，
∴MD=MC，
又∵AD=BC，∠D=∠C=90°
∴△ADM≌△BCM，
∴∠AMD=∠BMC，
∵∠AMB=90°，
∴∠AMD+∠BMC=90°，
∴∠AMD=∠BMC=45°
∴∠DAM=∠AMD=45°，
∴AD=DM，
∴AB=2AD．

（2）如图2所示，作MH⊥AB于点H，连接MN
∵∠AMB=90°，
∴∠AMD+∠BMC=90°，
∵∠AMD+∠DAM=90°，
∴∠DAM=∠BMC
又∵∠D=∠C，
∴△ADM∽△MCB，
∴，即，
∴MC=1或3．
∵点M，N分别为矩形ABCD边CD，AB上的直角点，
∴AN=MC，
∴当MC=1时，AN=1，NH=2，
∴MN2=MH2+NH2=（）2+22=7，
∴MN=．
当MC=3时，此时点N与点H重合，即MN=BC=，
综上，MN=或．