Question

（2009•遂宁）如图，已知矩形ABCD中，AB=4cm，AD=10cm，点P在边BC上移动，点E、F、G、H分别是AB、AP、DP、DC的中点．
（1）求证：EF+GH=5cm；
（2）求当∠APD=90°时，的值．

Answer

E、F、G、H分别是AB、AP、DP、DC的中点，则EF，GH分别是△ABP，△DCP的中位线，得到EF+GH=BC；
根据∠APD=90°，利用勾股定理得到AD2=AP2+DP2=AB2+BP2+PC2+DC2=BP2+（BC-BP）2+2AB2=BP2+（10-BP）2+32，就得到关于BP的方程，从而求出BP的长，因而根据中位线定理求出EF，GH的长，从而求出比值．
（1）证明：∵矩形ABCD，AD=10cm，
∴BC=AD=10cm．
∵E、F、G、H分别是AB、AP、DP、DC的中点，
∴EF+GH=BP+PC=BC．
∴EF+GH=5cm．

（2）【解析】
∵矩形ABCD，
∴∠B=∠C=90°，
又∵∠APD=90°，
在直角△APD中，AD2=AP2+DP2，
同理，AP2=AB2+BP2，PD2=PC2+CD2=PC2+AB2，
∴AD2=AP2+DP2=AB2+BP2+PC2+DC2=BP2+（BC-BP）2+2AB2=BP2+（10-BP）2+32，
即100=2BP2-20BP+100+32，
解得BP=2或8（cm），
当BP=2时，PC=8，EF=1，GH=4，这时，
当BP=8时，PC=2，EF=4，GH=1，这时，
∴的值为或4．