Question

（2010•荆州）如图，直角梯形OABC的直角顶点O是坐标原点，边OA，OC分别在x轴、y轴的正半轴上，OA∥BC，D是BC上一点，BD=OA=，AB=3，∠OAB=45°，E、F分别是线段OA、AB上的两动点，且始终保持∠DEF=45°．
（1）直接写出D点的坐标；
（2）设OE=x，AF=y，试确定y与x之间的函数关系；
（3）当△AEF是等腰三角形时，将△AEF沿EF折叠，得到△A'EF，求△A'EF与五边形OEFBC重叠部分的面积．

Answer

（1）过B作x轴的垂线，设垂足为M，由已知易求得OA=4，在Rt△ABM中，已知了∠OAB的度数及AB的长，即可求出AM、BM的长，进而可得到BC、CD的长，由此可求得D点的坐标；
（2）连接OD，证△ODE∽△AEF，通过得到的比例线段，即可得出y、x的函数关系式；
（3）若△AEF是等腰三角形，应分三种情况讨论：
①AF=EF，此时△AEF是等腰Rt△，A′在AB的延长线上，重合部分是四边形EDBF，其面积可由梯形ABDE与△AEF的面积差求得；
②AE=EF，此时△AEF是等腰Rt△，且E是直角顶点，此时重合部分即为△A′EF，由于∠DEF=∠EFA=45°，得DE∥AB，即四边形AEDB是平行四边形，则AE=BD，进而可求得重合部分的面积；
③AF=AE，此时四边形AEA′F是菱形，重合部分是△A′EF；由（2）知：△ODE∽△AEF，那么此时OD=OE=3，由此可求得AE、AF的长，过F作x轴的垂线，即可求出△AEF中AE边上的高，进而可求得△AEF（即△A′EF）的面积．
【解析】
（1）过B作BM⊥x轴于M；
Rt△ABM中，AB=3，∠BAM=45°；则AM=BM=；
∴BC=OA-AM=4-=，CD=BC-BD=；
∴D点的坐标是；（2分）

（2）连接OD；如图（1），由（1）知：D在∠COA的平分线上，则∠DOE=∠COD=45°；
又在梯形DOAB中，∠BAO=45°，∴OD=AB=3
由三角形外角定理得：∠1=∠DEA-45°，又∠2=∠DEA-45°
∴∠1=∠2，∴△ODE∽△AEF（4分）
∴，即：
∴y与x的解析式为：（6分）

（3）当△AEF为等腰三角形时，存在EF=AF或EF=AE或AF=AE共3种情况；
①当EF=AF时，如图（2），∠FAE=∠FEA=∠DEF=45°；
∴△AEF为等腰直角三角形，D在A′E上（A′E⊥OA），
B在A′F上（A′F⊥EF）
∴△A′EF与五边形OEFBC重叠的面积为四边形EFBD的面积；
∵
∴
∴
∴；
（也可用S阴影=S△A'EF-S△A'BD）（8分）
②当EF=AE时，如图（3），此时△A′EF与五边形OEFBC重叠部分面积为△A′EF面积．
∠DEF=∠EFA=45°，DE∥AB，又DB∥EA
∴四边形DEAB是平行四边形
∴AE=DB=
∴（10分）
③当AF=AE时，如图（4），四边形AEA′F为菱形且△A′EF在五边形OEFBC内．
∴此时△A′EF与五边形OEFBC重叠部分面积为△A′EF面积．
由（2）知△ODE∽△AEF，则OD=OE=3
∴AE=AF=OA-OE=
过F作FH⊥AE于H，则
∴
综上所述，△A’EF与五边形OEFBC重叠部分的面积为或1或．（12分）