Question

（2010•江西）课题：两个重叠的正多形，其中的一个绕某一顶点旋转所形成的有关问题．
实验与论证：
设旋转角∠A₁AB₁=α（α＜∠A₁AA₂），θ₃、θ₄、θ₅、θ₆所表示的角如图所示．

（1）用含α的式子表示解的度数：θ₃=______，θ₄=______，θ₅=______；
（2）图1-图4中，连接AH时，在不添加其他辅助线的情况下，是否存在与直线AH垂直且被它平分的线段？若存在，请选择其中的一个图给出证明；若不存在，请说明理由；
归纳与猜想：
设正n边形AA₁A₂…A_n-1与正n边形AB₁B₂…B_n-1重合（其中，A₁与B₁重合），现将正边形AB₁B₂…B_n-1绕顶点A逆时针旋转α（0°＜α＜°）；
（3）设θ_n与上述“θ₃、θ₄、…”的意义一样，请直接写出θ_n的度数；
（4）试猜想在正n边形的情形下，是否存在与直线AH垂直且被它平分的线段？若存在，请将这条线段用相应的顶点字母表示出来（不要求证明）；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）由正三角形的性质得α+θ3=60°，再由正方形的性质得θ4=45°-（45°-α）=α，最后由正五边形的性质得θ5=108°-36°-36°-α=36°-α；
（2）存在，如在图1中直线AH垂直且平分的线段A2B1，△AA1A2≌△AB1B2，推得A2H=B1H，则点H在线段A2B1的垂直平分线上；由AA2=AB1，则点A0在线段A2B1的垂直平分线上，从而得出直线AH垂直且平分的线段A2B1
（3）当n为奇数时，θn=-α；
当n为偶数时，θn=α
（4）多写几个总结规律：
当n为奇数时，直线AH垂直平分，
当n为偶数时，直线AH垂直平分
【解析】
（1）60°-α，α，36°-α

（2）存在．下面就所选图形的不同分别给出证明：
选图如，图中有直线AH垂直平分A2B1，证明如下：
方法一：
证明：∵△AA1A2与△AB1B2是全等的等边三角形
∴AA2=AB1
∴∠AA2B1=∠AB1A2
又∠AA2H=∠AB1H=60°
∴∠HA2B1=∠HB1A2
∴A2H=B1H，∴点H在线段A2B1的垂直平分线上
又∵AA2=AB1，∴点A0在线段A2B1的垂直平分线上
∴直线AH垂直平分A2B1
方法二：
证明：∵△AA1A2与△AB1B2是全等的等边三角形
∴AA2=AB2
∴∠AA2B1=∠AB1A2
又∠AA2H=∠AB1H=60°
∴∠HA2B1=∠HB1A2
∴A2H=B1H，
在△AA2H与△AB1H中
∵AA2=AB1，
HA2=HB1，∠A0A2H=∠AB1H
∴△AA2H≌△AB1H
∴∠AA2H=∠B1A2H
∴AH是等腰三角形AA2B1的角平分线，
∴直线AH垂直平分A2B1选图如，图中有直线AH垂直平分A2B2，证明如下：
∵AB2=AA2∴∠AB2A2=∠AA2B2
又∵∠AB2B1=∠AA2A3
∴∠HB2A2=∠HA2B2
∴HB2=HA2
∴点H在线段A2B2的垂直平分线上
又∵AB2=AA2，∴点A在线段A2B2的垂直平分线上
∴直线AH垂直平分A2B2

（3）当n为奇数时，θn=-α；
当n为偶数时，θn=α．

（4）存在．
当n为奇数时，直线AH垂直平分，
当n为偶数时，直线AH垂直平分