Question

（2010•宜昌）如图所示，P是△ABC边AC上的动点，以P为顶点作矩形PDEF，顶点D，E在边BC上，顶点F在边AB上；△ABC的底边BC及BC上的高的长分别为a，h，且是关于x的一元二次方程mx²+nx+k=0的两个实数根，设过D，E，F三点的⊙O的面积为S_⊙O，矩形PDEF的面积为S_矩形PDEF．
（1）求证：以a+h为边长的正方形面积与以a、h为边长的矩形面积之比不小于4；
（2）求的最小值；
（3）当的值最小时，过点A作BC的平行线交直线BP与Q，这时线段AQ的长与m，n，k的取值是否有关？请说明理由．

Answer

（1）由根与系数的关系可得到a+h及ah的值，然后分别表示出正方形和矩形的面积，再根据根的判别式进行判断即可；
（2）过D、E、F三点的⊙O一定是以DF为直径的圆，那么其面积为：（EF2+DE2）；而矩形PDEF的面积为：EF•DE；那么，可将看作一个整体，将两个图形的面积比转化为完全平方式，进而得出其最小值；
（3）过B作BM⊥AQ于M，交直线PF于N；易证得△FBP∽△ABQ，根据相似三角形的对应线段成比例可得EP：AQ=BN：BM；而当（2）的面积比最小时，EF=DE，此时BN=FP，即AQ=BM=h；h是已知方程的一个根，由此可判断出AQ的长是否与m、n、k的取值有关．
【解析】
解法一：
（1）据题意，∵a+h=，ah=
∴所求正方形与矩形的面积之比：
=（1分）
∵n2-4mk≥0，∴n2≥4mk，由知m，k同号，
∴mk＞0 （2分）
（说明：此处未得出mk＞0只扣（1分），不再影响下面评分）
∴（3分）
即正方形与矩形的面积之比不小于4．

（2）∵∠FED=90°，∴DF为⊙O的直径．
∴⊙O的面积为：． （4分）
矩形PDEF的面积：S矩形PDEF=EF•DE．
∴面积之比：，设．

=
=．（6分）
∵，∴，
∴，即f=1时（EF=DE），的最小值为（7分）

（3）当的值最小时，这时矩形PDEF的四边相等为正方形．
过B点过BM⊥AQ，M为垂足，BM交直线PF于N点，设FP=e，
∵BN∥FE，NF∥BE，∴BN=EF，∴BN=FP=e．
由BC∥MQ，得：BM=AG=h．
∵AQ∥BC，PF∥BC，∴AQ∥FP，
∴△FBP∽△ABQ． （8分）
（说明：此处有多种相似关系可用，要同等分步骤评分）
∴=，（9分）
∴，∴AQ=h （10分）
∴（11分）
∴线段AQ的长与m，n，k的取值有关．
（解题过程叙述基本清楚即可）

解法二：
（1）∵a，h为线段长，即a，h都大于0，
∴ah＞0 （1分）（说明：此处未得出ah＞0只扣（1分），再不影响下面评分）
∵（a-h）2≥0，当a=h时等号成立．
故，（a-h）2=（a+h）2-4ah≥0．（2分）
∴（a+h）2≥4ah，
∴≥4．（﹡） （3分）
这就证得≥4．（叙述基本明晰即可）
（2）设矩形PDEF的边PD=x，DE=y，则⊙O的直径为．
S⊙O=（4分），S矩形PDEF=xy

=
=（6分）
由（1）（*）．
∴．
∴的最小值是（7分）

（3）当的值最小时，
这时矩形PDEF的四边相等为正方形．
∴EF=PF．作AG⊥BC，G为垂足．
∵△AGB∽△FEB，∴． （8分）
∵△AQB∽△FPB，，（9分）
∴=．
而EF=PF，∴AG=AQ=h，（10分）
∴AG=h=，
或者AG=h=（11分）
∴线段AQ的长与m，n，k的取值有关．
（解题过程叙述基本清楚即可）