Question

（2010•深圳）如图1所示，以点M（-1，O）为圆心的圆与y轴，x轴分别交于点A，B，C，D，直线y=-x-与⊙M相切于点H，交x轴于点E，交y轴于点F．
（1）请直接写出OE，⊙M的半径r，CH的长；
（2）如图2所示，弦HQ交x轴于点P，且DP：PH=3：2，求cos∠QHC的值；
（3）如图3所示，点K为线段EC上一动点（不与E，C重合），连接BK交⊙M于点T，弦AT交x轴于点N．是否存在一个常数a，始终满足MN•MK=a，如果存在，请求出a的值；如果不存在，请说明理由．

Answer

（1）在直线y=-x-中，令y=0，可求得E的坐标，即可得到OE的长为5；连接MH，根据△EMH与△EFO相似即可求得半径为2；再由EC=MC=2，∠EHM=90°，可知CH是RT△EHM斜边上的中线，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得出CH的长；
（2）连接DQ、CQ．根据相似三角形的判定得到△CHP∽△QDP，从而求得DQ的长，在直角三角形CDQ中，即可求得∠D的余弦值，即为cos∠QHC的值；
（3）连接AK，AM，延长AM，与圆交于点G，连接TG，由圆周角定理可知，∠GTA=90°，∠3=∠4，故∠AKC=∠MAN，再由△AMK∽△NMA即可得出结论．
【解析】
（1）∵直线y=-x-中，令y=0，则x=-5，即OE=5；
令x=0，则y=-，故F点坐标为（0，-），
∴EF==，
∵M（-1，0），
∴EM=4，
∵∠E=∠E，∠AOE=∠EHM，
∴△EMH∽△EFO，
∴=，即=，
∴r=2；
∵CH是RT△EHM斜边上的中线，
∴CH=EM=2．

（2）连接DQ、CQ．
∵∠CHP=∠D，∠CPH=∠QPD，
∴△CHP∽△QDP．
∴CH：DQ=HP：PD=2：3，
∴DQ=3．
∴cos∠QHC=cos∠D=．

（3）如图3，连接AK，AM，延长AM，与圆交于点G，连接TG，则∠GTA=90°，
∴∠MAN+∠4=90°，
∵∠3=∠4
∴∠MAN+∠3=90°
由于∠BKO+∠3=90°，故∠BKC=∠MAN；
而∠BKC=∠AKC，
∴∠AKC=∠2，
在△AMK和△NMA中，∠AKC=∠MAN；∠AMK=∠NMA，
故△MAK∽△MNA，
=；
即：MN•MK=AM2=4，
故存在常数a，始终满足MN•MK=a，
常数a=4．