Question

（2010•芜湖）芜湖国际动漫节期间，小明进行了富有创意的形象设计．如图1，他在边长为1的正方形ABCD内作等边三角形BCE，并与正方形的对角线交于F、G点，制成如图2的图标．则图标中阴影部分图形AFEGD的面积=    ．

Answer

根据等边三角形与正方形的性质，求出∠EBO，再在直角三角形BOF中利用角的正切求出边OF，从而得知S△BOF，S△BAF=S△BAO-S△BOF；同理求得S△CGD，所以图标中阴影部分图形AFEGD的面积就是：S□ABCD-S△CBE-S△BAF-S△CGD
【解析】
方法1：设AC与BD交于点O，
∵AC、BD是正方形的对角线，
∴AC⊥BD，OA=OB，
在△BCE中，∠EBC=60°，∠OBC=45°，
∴∠EBO=60°-45°，
∴FO=tan（60°-45°）•OB，
∴S△BOF=OF•OB=tan（60°-45°）•OB2，
∴S△BAF=S△BAO-S△BOF=-tan（60°-45°）•OB2=-tan（60°-45°）•OB2=OB2，
同理，得S△CGD=OB2，
∵S△CBE=sin60°=sin60°=AB2，
∴S□ABCD-S△CBE-S△BAF-S△CGD=AB2-AB2-OB2，
∵OB=BD，BD2=AB2+AD2，AB=AD=1，
∴S□ABCD-S△CBE-S△BAF-S△CGD=1--（××（1+1）=，
图标中阴影部分图形AFEGD的面积=．

方法2：过G作GH⊥CD于H，
则易得△GDH是等腰直角三角形，设DH=GH=x，
∵△BEC是等边三角形，
∴∠BCE=60°，
∴∠ECD=90°-60°=30°，
∴CH=x，
∵CD=DH+CH=1，
即x+x=1，
x（1+）=1，
解得x===，
∴S△CGD=×1×=
同理S△BFA=
易得S△BCE=
∴S阴影=S正方形ABCD-S△BCE-S△BAF-S△CGD
=1---
=．
故答案为：．