Question

（2010•鄂州）已知⊙O的半径为10，弦AB的长为10，点C在⊙O上，且C点到弦AB所在的直线的距离为5，则以O，A，B，C为顶点的四边形的面积是    ．

Answer

过O作OD⊥AB于D，由垂径定理知AD=BD=5，则∠AOD=60°，OD=5；
①若延长OD交⊙O于E，则DE=5，此时E点符合C点的要求，且四边形OACB为菱形，根据菱形的面积为对角线乘积的一半即可求得其面积；
②过O作AB的平行线，交⊙O于M、N，由于O到AB的矩形为5，所以M、N均符合C点的要求；此时四边形OCAB为梯形，且上底为10，下底为10，高为5，根据梯形的面积公式即可求得其面积．
【解析】
如图，连接OA、OB，过O作垂直于AB的半径OE，交AB于D；
Rt△OAD中，AD=AB=5，OA=10；
故∠AOD=60°，OD=5；
①易知DE=OE-OD=5；所以E点符合C点的要求；
此时四边形OAEB的对角线AB、OE互相垂直平分，故四边形OAEB是菱形；
∴S菱形OAEB=AB•OE=50；
②过O作平行于AB的直径，交⊙O于M、N，则M、N到AB的距离均为OD=5；
所以M、N也符合C点的要求；
∴S梯形OMAB=S梯形ONBA=（OM+AB）×OD=25+25；
故以O，A，B，C为顶点的四边形的面积是50或25+25