Question

（2006•厦门模拟）如图，已知：在△ABC中，∠BAC=90°，延长BA到点D，使AD=AB，点G、E、F分别为边AB、BC、AC的中点．求证：DF=BE．

Answer

连接GF，易得AF是GD的中垂线，所以AD=AG．又∠BAC=90°，即AF⊥BD，所以DF=FG．因为EF为△ABC的中位线，所以BG=EF，BG∥EF，所以四边形BEFG为平行四边形，所以GF=BE．
证法（-）：连接GF，
∵AD=AB，点G为AB边的中点，
∴AD=BG=AB．
∴AD=AG．
又∵∠BAC=90°，即AF⊥BD，
∴DF=FG．
∵EF为△ABC的中位线，
∴EF=AB，EF∥AB．
∴BG=EF，BG∥EF．
∴四边形BEFG为平行四边形．
∴GF=BE．
∴BE=DF．

证法（二）：∵F，E是AC，BC的中点，
∴FE=AB（中位线定理）；
∵AD=AB，
∴AD=FE，
∵点F是AC中点，
∴AF=FC，
又∠DAF=∠CFE=90°，
∴△DAF≌△FEC，
∴DF=EC，
∴DF=BE．