Question

如图，平面直角坐标系中，Rt△OAB的OA边在x轴上，OB边在y轴上，且OA=2，AB=，将△OAB绕点O逆时针方向旋转90°后得△OCD，已知点E的坐标是（2、2）
（1）求经过D、C、E点的抛物线的解析式；
（2）点M（x、y）是抛物线上任意点，当0＜x＜2时，过M作x轴的垂线交直线AC于N，试探究线段MN是否存在最大值，若存在，求出最大值是多少？并求出此时M点的坐标；
（3）P为直线AC上一动点，连接OP，作PF⊥OP交直线AE于F点，是否存在点P，使△PAF是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）在Rt△AOB中，已知OA、AB的长，可由勾股定理求得OB的值，根据旋转的性质知OD=OB、OC=OA，由此可求出D、C的坐标，然后用待定系数法即可求出抛物线的解析式．
（2）根据A、C的坐标，易求得直线AC的解析式，根据抛物线和直线AC的解析式，可得M、N纵坐标的表达式，进而可得关于MN的长和x的函数关系式，根据函数的性质即可求得MN的最大值及对应的M点坐标．
（3）首先设出点P的横坐标，根据直线AC的解析式表示出点P的纵坐标，易求得直线OP的解析式，由于PF⊥OP，那么直线OP、PF的斜率的积为-1，再结合点P的坐标可得直线PF的解析式，然后将点F的横坐标代入直线PF的解析式中，即可求得F点的纵坐标（此过程，也可过P作x轴、AE的垂线，由全等三角形来求得）．进而可得PF2、PA2、AF2的表达式，然后分：①PF=PA、②PF=AF、③PA=AF，三种情况，分别列出三个不同的等量关系式，从而求出符合条件的P点坐标．需要注意的是P点横坐标不能为1和2，因为这两种情况下，不能构成△PAF．
【解析】
（1）在Rt△AOB中，AB=，OA=2，由勾股定理得：OB=1；
由于△ODC是由△OBA旋转90°所得，
所以OB=OD=1，OA=OC=2，
因此D（-1，0），C（0，2），A（2，0），
∵E（2，2），
设抛物线的解析式为：y=ax2+bx+c，则有：
，
解得；
∴抛物线的解析式为：y=-x2+x+2．

（2）∵A（2，0），C（0，2），
∴直线AC：y=-x+2；
∴M（x，-x2+x+2），N（x，-x+2）；
故MN=-x2+x+2-（-x+2）=-x2+x=-（x-3.5）2+12.25，
因此当x=1，即M（3.5，-1.5）时，MN取最大值，且最大值为12.25．

（3）由于P在直线AC上，
所以设P（a，-a+2）（a≠1且a≠2），
则直线OP：y=x；
由于PF⊥OP，可设直线PF：y=x+h，则有：
×a+h=-a+2，h=-a+2-=，
即直线PF：y=x+；
当x=2时，y==-2a+2；
∴P（a，-a+2），F（2，-2a+2），A（2，0），
∴PF2=（a-2）2+a2，PA2=（2-a）2+（a-2）2=2（a-2）2，AF2=（-2a+2）2，
①当PF=PA时，PF2=PA2，则有：
（a-2）2+a2=2（a-2）2，
解得a=1（不合题意，舍去）；
故此种情况不成立；
②当PF=AF时，PF2=AF2，则有：
（a-2）2+a2=（-2a+2）2，
解得a=0，a=2（舍去），
∴P（0，2）；
③当PA=AF时，PA2=AF2，则有：
2（a-2）2=（-2a+2）2，
解得a=±，
∴P（，2-）或P（-，2+）；
综上所述，存在符合条件的P点，且坐标为：P1（0，2），P2（，2-），P3（-，2+）．