Question

（2008•义乌）如图，直角梯形纸片ABCD，AD⊥AB，AB=8，AD=CD=4，点E、F分别在线段AB、AD上，将△AEF沿EF翻折，点A的落点记为P．
（1）当AE=5，P落在线段CD上时，PD=______；
（2）当P落在直角梯形ABCD内部时，PD的最小值等于______

Answer

（1）作CS⊥AB于点S，EG⊥DC，交于DC延长线于点G，利用矩形的性质有AD=CS=GE=4，CD=AS=4，结合Rt△PGE，由折叠的性质知PE=AE=5，由勾股定理得出相关的线段的长度，即可求得DP的长；
（2）当点P落在梯形的内部时，∠P=∠A=90°，四边形PFAE是以EF为直径的圆内接四边形，只有当直径EF最大时，且点A落在BD上时，PD最小，此时E与点B重合，由勾股定理得BD的长，从而求得PD=4-8．
【解析】
（1）过P作PG⊥AB于G，则四边形DAGP是矩形，PG=DA=4，
∵PE=AE=5，
∴GE===3，
∴PD=AG=AE-GE=5-3=2；

（2）连接ED，作P1P⊥ED于P，
那么在Rt△P1PD中，P1D＞PD，
故当点A的对称点P落在线段ED上时，PD有最小值，（左图）
而E在线段AB上，
故当E与B重合时，即EP=BP，此时PD取最小值．（右图）
此时，AB=BP=8，又BD==4，
∴PD=BD-BP=．