Question

（2010•丽水）△ABC中，∠A=∠B=30°，AB=2，把△ABC放在平面直角坐标系中，使AB的中点位于坐标原点O（如图），△ABC可以绕点O作任意角度的旋转．
（1）当点B在第一象限，纵坐标是时，求点B的横坐标；
（2）如果抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的对称轴经过点C，请你探究：
①当a=，b=-，c=-时，A，B两点是否都在这条抛物线上？并说明理由；
②设b=-2am，是否存在这样的m的值，使A，B两点不可能同时在这条抛物线上？若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）由于O是AB的中点，则OA=OB=；可设出点B的横坐标，结合B点的纵坐标和勾股定理即可求出B点的横坐标；
（2）①已知了抛物线的解析式，即可得到抛物线的对称轴方程，也就得到了C点的横坐标；此时发现C点横坐标为正数，所以分两种情况讨论：
一、点C在第一象限；在Rt△OBC中，根据OB的长及∠B的度数，可求出OC的长，参照（1）的方法即可求出C点的坐标；若分别过A、C作x轴的垂线，通过构建的相似三角形即可求出A点的坐标，A、B关于原点对称，即可得到B点的坐标；将A、B的坐标代入抛物线的解析式中进行验证即可；
二、点D在第四象限；方法同一；
②若b=-2am，则函数的解析式为：y=ax2-2amx+c=a（x-m）2-am2+c；由此可得C点的横坐标为m；在△ABC旋转的过程中，C点横坐标的取值范围在区间[-1，1]之间，由于当m=-1或1时，C点在x轴上，A、B同时处在y轴，所以此时抛物线不可能同时经过A、B两点．
【解析】
（1）∵点O是AB的中点，
∴OB=AB=；（1分）
设点B的横坐标是x（x＞0），
则x2+（）2=（）2，（1分）
解得x1=，x2=-（舍去）；
∵点B在第一象限，
∴点B的横坐标是；（2分）

（2）①当a=，b=-，c=-时，得y=（*）
y=；（1分）
以下分两种情况讨论；
情况1：设点C在第一象限（如图），
则点C的横坐标为，OC=OB×tan30°==1；（1分）
由此，可求得点C的坐标为（，），
根据∠A=30°，OC⊥AB，
过C作X轴的垂线交X轴于N，过点A作垂线交X轴于点M，
则△AOM∽△CON
∴OA：OC=OM：CN=AM：ON=：1，
∵NO=，
∴AM=NO×=，
∴MO=CN×=，
∴点A（-，），
∵A，B两点关于原点对称，

∴点B的坐标为（，-），
将点A的横坐标代入解析式的右边，计算得，
即等于点A的纵坐标；
将点B的横坐标代入解析式的右边，计算得-，即等于点B的纵坐标；
∴在这种情况下，A，B两点都在抛物线上；
情况2：设点C在第四象限（如图），则点C的坐标为（，-），
点A的坐标为（，），点B的坐标为（-，-）；
经计算，A，B两点都不在这条抛物线上；
②存在，m的值是1或-1．
y=a（x-m）2-am2+c，
因为这条抛物线的对称轴经过点C，
所以-1≤m≤1；
当m=±1时，点C在x轴上，此时A，B两点都在y轴上．
因此当m=±1时，A，B两点不可能同时在这条抛物线上．