Question

（2009•义乌）如图，AB是⊙O的直径，BC⊥AB于点B，连接OC交⊙O于点E，弦AD∥OC，弦DF⊥AB于点G．
（1）求证：点E是的中点；
（2）求证：CD是⊙O的切线；
（3）若sin∠BAD=，⊙O的半径为5，求DF的长．

Answer

（1）根据AD∥OC可得∠A=∠COB，从而判定=；
（2）连接OD，只要证明∠CDO=90°即可；
（3）在△ADG中用勾股定理求解．
（1）证明：连接OD；
∵AD∥OC，
∴∠A=∠COB；（1分）
∵∠A=∠BOD，
∴∠BOC=∠BOD；
∴∠DOC=∠BOC；
∴，
则点E是的中点；（2分）

（2）证明：如图所示：
由（1）知∠DOE=∠BOE，（1分）
∵CO=CO，OD=OB，
∴△COD≌△COB；（2分）
∴∠CDO=∠B；
又∵BC⊥AB，
∴∠CDO=∠B=90°；
∴CD是⊙O的切线；（3分）

（3）【解析】
在△ADG中，∵sinA=，
设DG=4x，AD=5x；
∵DF⊥AB，
∴AG=3x；（1分）
又∵⊙O的半径为5，
∴OG=5-3x；
∵OD2=DG2+OG2，
∴52=（4x）2+（5-3x）2；（2分）
∴x1=，x2=0；（舍去）
∴DF=2DG=2×4x=8x=8×（3分）．