Question

如图所示，在平面直角坐标中，抛物线经过原点O与点M（-4，0），顶点N的纵坐标为4，以线段OM上的一个动点C为一个顶点，构造矩形ABCD，使边CD在线段OM上，点D在点C的左侧，点A、B在抛物线上
（1）连接MN、ON，求△MON的面积；
（2）求抛物线的解析式；
（3）探究：当拖动点C时，矩形ABCD的形状会发生变化
①当矩形ABCD为正方形时，求出点A的坐标；
②设矩形ABCD的周长为l，请问l是否存在一个最大值？如果存在，求出这个最大值；如果不存在，请说明理由．

Answer

（1）通过坐标得到线段的长再求面积．
（2）利用顶点式求抛物线的解析式．
（3）设动点坐标来表示矩形ABCD的边长，再通过几何性质建立等量关系．求最大值问题通过配成顶点式解决．
【解析】
（1）∵点M的坐标为（-4，0）
∴OM=4
作NE⊥y轴于点E，又顶点N的纵坐标为4
∴NE=4
∴S△MON=MO•NE=×4×4=8（平方单位）（3分）

（2）抛物线的顶点N的纵坐标为4，
且又经过原点O与点M（-4，0），
所以顶点N的坐标为（-2，4）
所以可设抛物线的解析式为y=a（x+2）2+4（4分）
∵抛物线y=a（x+2）2+4过原点（0，0），
∴0=a（0+2）2+4
∴a=-1（5分）
抛物线的解析式为y=-（x+2）2+4即y=-x2-4x（6分）

（3）①设点D的坐标为（x，0），
因为点A在抛物线y=-x2-4x上，
所以点A的坐标为（x，-x2-4x）（7分）
D的坐标为（x，0），
所以OD=|X|=-X，MD=OC=4+x
∴CD=OM-MD-OC=-4-2x
∴AD=-x2-4x
当矩形ABCD为正方形时有CD=AD
所以有-4-2x=x2-4x即x2+2x-4=0（8分）
解得x1=-1-，x2=-1+
-1+＞0时，点D不在OM上，不符合舍去．（9分）
所以x=-1-，
所以-x2-4x=-2+2
当矩形ABCD为正方形时点A的坐标为（-1-，-2+2）（10分）
②存在
设点D的坐标为（x，0）则由①知：
CD=-4-2x，AD=-X2-4X
则l=2（-4-2x）+2（-x2-4x）=-2x2-12x-8=-2（x+3）2+10（12分）
所以当x=-3时l存在最大值，最大值为10（13分）