Question

如图，已知△ABC中∠C=90°，BC=4，AC=3，点P是斜边AB上的一动点，作PE⊥BC于点E，作PF⊥AC于点F，垂足分别为E、F．
（1）求证：四边形PECF是矩形；
（2）想一想，当点P运动到什么地方时，△APF与△PBE全等，证明你的猜想；
（3）想一想，当点P运动到什么地方时，四边形PECF是正方形，证明你的猜想；
（4）想一想，当点P运动到什么地方时，四边形PECF的面积最大，并求出这个最大值．

Answer

（1）知道什么是矩形即可求解，即确定四个角都是直角即可．
（2）若使两三角形全等，因为都是直角三角形，且PF∥BC，只需一条边相等即可，即P运动到中点位置时，两条斜边相等．
（3）由（1）知四边形PECF是矩形，要使其为正方形，只需相邻两条边相即可．先假设其两邻边相等，即PE=PF，在假设其为一未知量x，通过相似三角形求其具体的值．
（4）这一问涉及二次函数求最值问题，可先假设AP=x，由△APF∽△ABC，求出x的值，进而求出其最大面积，即P点移动到AB中点时的面积为最大．
【解析】
（1）证明：∵PE⊥BC，
∴∠PEC=90°（1分）
同理：∠PFC=∠C=90°，
∴四边形PECF是矩形（有三个角是直角的四边形是矩形）；（2分）

（2）P运动到线段AB的中点时，△APF与△PBE全等（3分）
∵PE⊥BC，
∴∠PEB=∠C=90°，
∴PE∥AC，
∴∠EPB=∠A（4分）
同理∠APF=∠B，
若点P是AB的中点则有AP=PB，
可得△APF≌△PBE（ASA）；（5分）

（3）当AP=时，四边形PECF是正方形，
由（1）知四边形PECF是矩形，若四边形PECF是正方形，
则有PE=PF，设PE=PF=x，
则CF=x，AF=3-x，（6分）
∵PE∥AC，
∴∠BEP=∠C，∠BPE=∠A，
∴△APF∽△ABC，（7分）
∴，即，
解得x=，
经检验x=是方程的根，
∴AF=3-x=，CF=x=，
在Rt△AFP中，根据勾股定理得：AP==，
即当AP=时，PE=PF=，
矩形PECF是正方形；

（4）当AP=时，四边形PECF的面积最大．
由（1）知四边形PECF是矩形，
∵∠C=90°，BC=4，AC=3，
∴根据勾股定理得：AB==5，（9分）
设AP=x，则由△APF∽△ABC可得：，即PF=，
==，即AF=，
∴PE=3-，
∴S矩形PECF=PF•FC=x（3-x）（10分）
∵x（3-x）=-（x-）2+3，
∴当x=时四边形PECF的面积最大，最大值为3．（11分）