Question

如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=8，以AB为直径的⊙O交AC于D，E为BC的中点．
（1）求线段CD的长；
（2）求证：DE是⊙O的切线．

Answer

（1）连接BD，在Rt△ABC中，解得AC，由三角形相似求得CD，
（2）连接OD，由OD=OB，知∠1=∠2，在Rt△BDC中，E为BC的中点，求得∠EDB=∠EBD，最终证明∠ODE=90°．
（1）【解析】
连接BD，如图．
∵在Rt△ABC中，AB=6，BC=8，
∴（1分）
又∵AB为直径，
∴BD⊥AC，
∴△BDC∽△ABC，
∴，即，
∴CD=6.4；

（2）证明：连接OD，
∵OD=OB，
∴∠1=∠2，
∵在Rt△BDC中，E为BC的中点，
∴，
∴∠EDB=∠EBD，
又∵∠ABC=90°，
∴∠2+∠EBD=90°
∴∠1+∠EDB=∠2+∠EBD=90°，即∠ODE=90°
∴ED为⊙O的切线．