Question

如图，在直角坐标系中，O是坐标原点，点A的坐标是（1，），若把线段OA绕点O逆时针旋转120°，可得线段OB．
（1）求点B的坐标；
（2）某二次函数的图象经过A、O、B三点，求该函数的解析式；
（3）在第（2）小题所求函数图象的对称轴上，是否存在点P，使△OAP的周长最小，若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）根据点A的坐标易知∠AOx=60°，若将OA逆时针旋转120°，点A的对应点B则正好落在x轴负半轴上，易求得OA的长，即可得到OB的长，从而求出点B的坐标．
（2）已知了函数图象上三点的坐标，可利用待定系数法求得该抛物线的解析式．
（3）在△OAP中，OA的长是定值，若三角形的周长最小，那么AP+OP的值最小；由于O、B关于抛物线的对称轴对称，若连接AB，那么直线AB与抛物线对称轴的交点即为所求的点P，易求得直线AB的解析式，联立抛物线对称轴，即可求得点P的坐标．
【解析】
（1）作AC⊥x轴于C，
∵点A（1，），即OC=1，AC=，
∴∠AOC=60°，OA=2；（1分）
∴点B（-2，0）．（2分）

（2）∵抛物线经过点O（0，0），
∴可设所求解析式为y=ax2+bx．
把点A、B的坐标代入上式，得：
，（3分）
解得a=，b=；
∴所求解析式为y=x2+x．（4分）

（3）存在，
∵点O和B关于抛物线y=x2+x的对称轴直线x=-1对称，
∴直线AB与直线x=-1的交点即为所求点P；（5分）
把点A（1，）、B（-2，0）分别代入y=kx+b，
可求得直线AB的解析式为：y=x+，（6分）
令x=-1，得y=；
∴点P（-1，）．（7分）