Question

如图，△ABC是等边三角形，分别延长AB至F，BC至D，CA至E，使AF=3AB，BD=3BC，CE=3CA，求证，△DEF是等边三角形．

Answer

根据△ABC是等边三角形，得AB=AC=BC，∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°．结合AF=3AB，BD=3BC，CE=3CA，得AF=BD=CE，AE=BF=CD，从而根据SAS，可证明△AEF≌△BFD≌△DCE，则EF=DF=DE，即△DEF是等边三角形．
证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠EAF=∠FBD=∠DCE=120°．
∵AB=BC=CA，AE=BF=CD，
∴AB+BF=BC+CD=CA+AE．
即AF=BD=CE．
又∵AE=BF=CD，
∴△AEF≌△BFD≌△DCE．
∴EF=FD=DE．
即△DEF是等边三角形．