Question

（2008•咸宁）如图，在△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的角平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．
（1）求证：EO=FO；
（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论．

Answer

（1）根据平行线性质和角平分线性质及，由平行线所夹的内错角相等易证．
（2）根据矩形的判定方法，即一个角是直角的平行四边形是矩形可证
（1）证明：∵CE平分∠ACB，
∴∠1=∠2，
又∵MN∥BC，
∴∠1=∠3，
∴∠3=∠2，
∴EO=CO，（2分）
同理，FO=CO，（3分）
∴EO=FO．（4分）

（2）【解析】
当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形．（5分）
∵EO=FO，点O是AC的中点．
∴四边形AECF是平行四边形，（6分）
∵CF平分∠BCA的外角，
∴∠4=∠5，
又∵∠1=∠2，
∴∠2+∠4=×180°=90°．
即∠ECF=90度，（7分）
∴四边形AECF是矩形．（8分）