Question

如图，在平面直角坐标系中，点A、点C同时从点O出发，分别以每秒2个单位、1个单位的速度向x轴、y轴的正半轴方向运动，以OA、OC为边作矩形OABC．以M（4，0），N（9，0）为斜边端点作直角△PMN，点P在第一象限，且，当点A出发时，△PMN同时以每秒0.5个单位的速度沿x轴向右平移．设点A运动的时间为t秒，矩形OABC与△PMN重叠部分的面积为S．
（1）求运动前点P的坐标；
（2）求S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；
（3）若在运动过程中，要使对角线AC上始终存在点Q，满足∠OQM=90°，请直接写出符合条件的t的值或t的取值范围．

Answer

（1）过点P作PH⊥x轴于H，可求出MH的长即点P的横坐标，再根据tan∠PMN=，及勾股定理便可求出点P的坐标．
（2）因为点A；点C同时从点O出发，点M（4，0），△PMN同时以每秒0.5个单位的速度沿x轴向右平移，运动t秒后，OA=2t，OM=4+0.5t，
①当0＜OA≤OM，即0＜2t≤时，两图形无交点；
②当OM＜OA≤OH，即4+0.5t＜2t≤8+0.5t时，即＜t≤时，矩形OABC与△PMN重叠部分的面积为S等于重叠的三角形的面积．
③当OH＜OA≤ON，即8+0.5t＜2t≤9+0.5t，即＜t≤6时，矩形OABC与△PMN重叠矩部分的面积为S等于△MNP的面积减去不重叠的三角形的面积．
④当OA＞ON，即2t＞9+0.5t，t＞6时，矩形OABC与△PMN重叠矩部分的面积为S等于△MNP的面积．
（3）根据圆周角定理可知，当以OM为直径的圆与AC有公共点时，公共点即是符合条件的点Q，即可求出t的取值范围．
【解析】
（1）如图，
过点P作PH⊥x轴于H．
∵MN=9-4=5，tan∠PMN=，
∴PM=，PN=，
∴PH=2，MH=4，NH=1．
∴P（8，2）．

（2）运动t秒后，OA=2t，OC=t，OM=4-0.5t．
当0＜t≤时，S=0；
当＜t≤时，S=t2-3t+4；
当＜t≤6时，S=-t2+27t-76；
当t＞6时，S=5．

（3）当以OM为直径的圆与AC有公共点时，公共点即是符合条件的点Q．
当以OM为直径的圆与AC相切时，t=，
∴t的取值范围是：0＜t≤．