Question

已知：在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx-4k的图象与x轴交于点A，抛物线y=ax²+bx+c（a＞0）经过O、A两点．
（1）求点A的坐标，并用含a的代数式表示b；
（2）已知点C（1，5），点B是抛物线上一点，且四边形OABC为平行四边形，求此时抛物线的解析式；
（3）在（2）的条件下，设点D是抛物线上且在直线OB下方的一个动点，当△OBD是等腰三角形时，符合条件的点D有几个？请求出其中一个点D的坐标．

Answer

（1）由于抛物线过原点，因此c=0，可用一次函数的解析式求出A点的坐标，然后将A的坐标代入抛物线的解析式中，即可求出a，b的关系式．
（2）由于四边形OABC是平行四边形，因此BC平行且相等于OA，OA=4，因此将C点的坐标向左平移4个单位就可得出B点的坐标，然后将B的坐标代入抛物线中即可得出二次函数的解析式．
（3）应该有两个符合条件的D点．
①OD=BD，此时D为OB垂直平分线与抛物线的交点．②OB=BD．
可设出D点的坐标，然后用坐标系中两点距离公式表示出OB，BD，OD的长，然后根据不同的情况可得出不同的关于D点坐标的方程，经过解方程即可求出D点的坐标．
【解析】
（1）一次函数y=kx-4k，
令y=0，则x=4，
∴A（4，0）．
∵抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）经过O、A两点，
∴，
∴b=-4a．

（2）如图1，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴OA=BC=4．
∵C（1，5），
∴B（5，5）
∵点B在抛物线y=ax2-4ax上，
∴5=25a-20a，
∴a=1．
∴y=x2-4x．

（3）符合条件的点D有2个．
如图2，作线段OB的中垂线，交抛物线于点D，
分别交OB、x轴于点E、F，
则OD=BD，点D为满足条件的一个点．
设点D的坐标为（x，x2-4x）．
则OD2=x2+（x2-4x）2，
BD2=（5-x）2+（5-x2+4x）2
∴x2+（x2-4x）2=（5-x）2+（5-x2+4x）2，
解得x=（负值舍去）．
∴D（，）．
本小题也可通过求出直线EF的解析式后，进一步求与抛物线交点D的坐标．