Question

（2009•无锡一模）某公司有A型产品80件，B型产品120件，分配给下属甲、乙两个商店销售，其中140件给甲店，60件给乙店，且都能卖完．甲店销售A型产品利润每件400元，销售B型产品利润每件340元；乙店销售A型产品利润每件320元，销售B型产品利润每件300元．
（1）若公司要求总利润不低于70280元，求出公司能采用几种不同的分配方案？
（2）为了促销，公司决定仅对甲店A型产品让利销售，每件让利m元，但让利后A型产品的每件利润仍高于甲店B型产品的每件利润．甲店的B型产品以及乙店的A、B型产品的每件利润不变，问该公司又如何设计分配方案，使总利润达到最大？

Answer

（1）设公司给甲店A型产品x件，则甲店B型产品有（140-x）件，乙店A型有（80-x）件，B型有（x-20）件，根据总利润不低于70280元得不等式，又因为产品件数不能是负数，且为整数，综合二者得x的取值，从而确定方案．
（2）求总利润的表达式，运用函数性质结合自变量的取值范围求解．
【解析】
（1）设公司给甲店A型产品x件．
则甲店B型产品有（140-x）件，乙店A型有（80-x）件，B型有（x-20）件．
设公司总利润为W元，
W=400x+320（80-x）+340（140-x）+300（x-20）=40x+67200．
由W=40x+67200≥70280
∴x≥77．（2分）
由解得20≤x≤80
∴77≤x≤80
∵x为整数∴x=77，78，79，80
∴有四种不同的分配方案（4分）

（2）依题意：W=（400-m）x+340（140-x）+320（80-x）+300（x-20）
=（40-m）x+67200（5分）
∵400-m＞340
∴m＜60
1、当0＜m＜40时，40-m＞0，x越大，W越大，得出x=80即甲店A型80件，B型60件；乙店A型0件，B型60件，能使总利润最大．
2、当m=40时，40-m=0，W为定值，20≤x≤80符合题意的各种方案使总利润最大．
3、当40＜m＜60时，40-m＜0，x越小，W越大，得出x=20即甲店A型20件，B型120件；乙店A型60件，B型0件，使总利润最大．