Question

如图，直角坐标系中，已知两点O（0，0），A（2，0），点B在第一象限且△OAB为正三角形．△OAB的外接圆交y轴的正半轴于点C．
（1）点B的坐标是______，点C的坐标是______；
（2）过点C的圆的切线交x轴于点D，则图中阴影部分的面积是______；
（3）若OH⊥AB于点H，点P在线段OH上．点Q在y轴的正半轴上，OQ=PH，PQ与OB交于点M．
①当△OPM为等腰三角形时，求点Q的坐标；
②探究线段OM长度的最大值是多少，直接写出结论．

Answer

（1）由于OA是等边三角形的边，又是圆的弦，过B点作OA的垂线，根据等边三角形的性质，可求B点坐标，连接AC，则∠OCA=∠OBA=60°，解直角△OCA可求OC．
（2）因为∠COA=90°，所以CA为直径，CD为圆的切线，∠OCA=60°，所以∠DCO=30°，解直角△OCD可求OD，取AC的中点（圆心）为O'，用阴影部分面积=△OCD面积+△OO'C面积-扇形OO'C面积可求解．
（3）①设点Q的坐标为（0，t），计算OH的长，△OPM为等腰三角形，有三种可能：OP=OM，OM=PM，OP=PM，根据每一种情况下的图形特征，分别求解．
【解析】
（1）过点B作OA的垂线，垂足为G，
∵A（2，0），∴OA=2，OG=OA=1，
设B点坐标为（1，t），则=2，
∴t=，∴B（1，）（1分）
连接AC，
则∠OCA=∠OBA=60°，∴=tan60°，
OC===，
∴C（0，）．

（2）∵∠COA=90°，
∴CA为直径，
又∵CD为圆的切线，∠OCA=60°，
∴∠DCO=30°，
∴OD=tan∠DCO•OC=×=，
∵AC是⊙O的直径，BG为△OAB的边OA的中线，
∴O′为△ABC外接圆的圆心，
∵∠OCA=60°，∴∠OCA=30°，∠OO′C=60°，
S阴影=S△OCD+S△OO'C-S扇形OO'C=××+××1-=．

（3）①设点Q的坐标为（0，t），
OH=OA×cos60°=，
（I）若OP=OM，∠OPM=∠OMP=75°，
∴∠OQP=45°，
过点P做PE⊥OA，垂足为E，则有：OE=EP，
即t-（-t）=（t），
解得：t=1，即点Q的坐标为（0，1）．
（II）若OM=PM，则∠MOP=∠MPO=30°，
∴PQ∥OA，从而OQ=0.5OP，
即t=（-t），
解得t=即点的坐标为（0，），
（III）若OP=PM，∠POM=∠PMO=∠COB，此时PQ∥OC，不满足题意．
②线段OM的长的最大值为．