Question

如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=8厘米，AC=12厘米，点D在AC上，CD=3厘米．点P、Q分别由A、C两点同时出发，点P沿AC方向向点C匀速移动，速度为每秒是k厘米；点Q沿CB方向向点B匀速移动，速度为每秒1厘米．设运动的时间为x秒（0＜x＜8），△DCQ的面积为y₁平方厘米，△PCQ的面积为y₂平方厘米．
（1）求y₁与x的函数关系，并在图2中画出y₁的图象；
（2）如图2，y₂的图象是抛物线的一部分，其顶点坐标是（4，12），求k的值和y₂与x的函数关系；
（3）在图2中，设y₁与y₂的图象的交点为M，点G是x轴正半轴上一点（0＜OG＜6），过G作EF垂直于x轴，分别与y₁、y₂的图象交于点E、F．求△OMF面积的最大值．
①说出线段EF的长在图1中所表示的实际意义；
②求△OMF面积的最大值．

Answer

（1）直接根据三角形的面积公式可得y1=x；
（2）先设y2=x（12-kx）=-x2+6x，把x=12时，y2=12代入解析式可求得k=，即y2=-x2+6x；
（3）①线段是长EF=y2-y1，表示△PCQ与△DCQ的面积差（或△PDQ的面积），由x=-x2+6x得点M（6，9），过点M做MH⊥EF于点H，则S△OMF=S△OEF+S△MEF=3EF=3（-x2+6x-x）=（x-3）2+，所以当x=3时，△OMF的面积有最大值为．
【解析】
（1）y1=x
画图正确（2分）

（2）y2=x（12-kx）=-x2+6x   （4分）
由题设：当x=4时，y2=12，
所以-8k+24=12，
解得k=（5分）
从而y2=-x2+6x   （6分）

（3）①线段是长EF=y2-y1，表示△PCQ与△DCQ的面积差（或△PDQ的面积）（7分）
②解法一：由x=-x2+6x
得点M（6，9）
过点M做MH⊥EF于点H，则S△OMF=S△OEF+S△MEF=EF．
OG+EF．MH=EF×6=3EF（9分）
=3（-x2+6x-x）=（x-3）2+（10分）
所以当x=3时，△OMF的面积有最大值为（12分）
解法二：由x=-x2+6x得点M（6，9）
过点M做MH⊥x轴于点N，则
S△OMF=S四边形ONMF-S△ONM=S△OGF+S梯形FGNM-S△ONM（9分）
=-x2+x   （10分）
所以当x=3时，△OMF的面积有最大值为．（12分）