Question

（2009•吉林）如图所示，菱形ABCD的边长为6厘米，∠B=60度．从初始时刻开始，点P、Q同时从A点出发，点P以1厘米/秒的速度沿A→C→B的方向运动，点Q以2厘米/秒的速度沿A→B→C→D的方向运动，当点Q运动到D点时，P、Q两点同时停止运动，设P、Q运动的时间为x秒时，△APQ与△ABC重叠部分的面积为y平方厘米（这里规定：点和线段是面积为O的三角形），解答下列问题：
（1）点P、Q从出发到相遇所用时间是______秒；
（2）点P、Q从开始运动到停止的过程中，当△APQ是等边三角形时x的值是______秒；
（3）求y与x之间的函数关系式．

Answer

（1）菱形ABCD的边长为6厘米，∠B=60°，则易证△ABC是等边三角形，边长是6厘米．点P、Q从出发到相遇，即两人所走的路程的和是18cm．设从出发到相遇所用的时间是x秒．列方程就可以求出时间．
（2）当P在AC上，Q在AB上时，AP≠AQ，则一定不是等边三角形，当△APQ是等边三角形时，Q一定在边CD上，P一定在边CB上，若△APQ是等边三角形，则CP=DQ，根据这个相等关系，就可以得到一个关于x的方程，就可以得到x的值．
（3）求y与x之间的函数关系式．应根据0≤x＜3和3≤x＜6以及6≤x≤9三种情况进行讨论．把x当作已知数值，就可以求出y．就可以得到函数的解析式．
【解析】
（1）∵四边形ABCD是菱形
∴AB=BC
又∵∠B=60°，
∴△ABC是等边三角形，
因而边长是6．设点P，Q从出发到相遇所用的时间是x秒．
根据题意得到x+2x=18，解得x=6秒．

（2）若△APQ是等边三角形，
此时点P在BC上，点Q在CD上，且△ADQ≌△ACP，
则CP=DQ，即x-6=18-2x，解得x=8；

（3）①当0≤x＜3时，
y=S△AP1Q1==．（5分）
②当3≤x＜6时，
y=S△AP2Q2
=
=sin60°
=
=-x（7分）
③当6≤x≤9时，设P3Q3与AC交于点O．
（解法一）
过Q3作Q3E∥CB交AC于E，则△CQ3E为等边三角形．
∴Q3E=CE=CQ3=2x-12
∵Q3E∥CB
∴△COP3∽△EOQ3
∴
∴OC=（2x-12）
y=S△AOP3
=S△ACP3-S△COP3
=sin60°
=
=-；
（解法二）
如图，过点O作OF⊥CP3于点F，OG⊥CQ3，于点G，
过点P3作P3H⊥DC交DC延长线于点H．
∵∠ACB=∠ACD
∴OF=OG
又CP3=x-6，CQ3=2x-12=2（x-6），
∴S△COP3=
∴

又S△ACP3=×AC×sin60°
=
=（x-6）
∴
=
=
=-（10分）