Question

（2009•花都区一模）如图，⊙O的直径EF=cm，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=cm．E、F、A、B四点共线．Rt△ABC以1cm/s的速度沿EF所在直线由右向左匀速运动，设运动时间为t（s），当t=0s时，点B与点F重合．
（1）当t为何值时，Rt△ABC的直角边与⊙O相切？
（2）当Rt△ABC的直角边与⊙O相切时，请求出重叠部分的面积（精确到0.01）．

Answer

（1）分两种情况，当点B运动到圆心O时，AC边与⊙O相切；当BC边与⊙O相切时，分别求得对应的t值．
（2）当点B运动到圆心O时，AC边与⊙O相切，重叠的部分为扇形，圆心角为60度，
故用扇形的面积公式可求得重叠的部分的面积；
当BC边与⊙O相切时，⊙O与Rt△ABC的重叠部分为扇形OMGE加上△OAM．
【解析】

（1）∵∠BAC=30°，AB=，
∴BC=
又∵⊙O的直径EF=，即半径为，
∠ACB=90°，
∴当点B运动到圆心O时，AC边与⊙O相切．（如图1所示）（1分）

此时运动距离为FO=，
∴t=s． （2分）
当BC边与⊙O相切时（如图2所示），

设切点为G．连接OG，则OG⊥BC．（3分）
由已知，∠BOG=∠BAC=30°，OG=，
∴BO=2． （4分）
又FO=，
∴BF=．（此步亦可利用相似求解，请参照给分）
∴此时s．   （5分）
由上所述，当秒时，Rt△ABC的直角边与⊙O相切．（6分）

（2）由图1，此时⊙O与Rt△ABC的重叠部分为扇形COF． （7分）
由已知，∠COF=60°，∴． （8分）
由图2，设AC与⊙O交于点M，
此时⊙O与Rt△ABC的重叠部分为扇形OMGE加上△OAM．  （9分）
过点M作MN⊥OG于N，则MN=GC．
由（1）可知BG=1
则MN=GC=．         （10分）
∴，
∴∠MON=25°，即∠MOE=55°．     （11分）
∴．  （12分）
又∵OM=，
∴点M到AB的距离h=OM•sin∠MOE≈1.419，（13分）
∴S△AOM=•OA•h≈1.229cm2
此时⊙O与Rt△ABC的重叠部分的面积为S扇形OMEF+S△AOM≈2.67cm2．（14分）