Question

（2007•舟山）如图，已知AB=AC，∠A=36°，AB的中垂线MN交AC于点D，交AB于点M，有下面4个结论：
①BD是∠ABC的角平分线；
②△BCD是等腰三角形；
③△ABC∽△BCD；
④△AMD≌△BCD．
（1）判断其中正确的结论是哪几个？
（2）从你认为是正确的结论中选一个加以证明．

Answer

（1）利用等腰三角形和线段垂直平分线的性质分析．
（2）先①根据等腰三角形的性质证明∠ABC=∠ACB，再根据中垂线的性质证明．
【解析】
（1）连接BD，
①∵AB=AC，∠A=36°
∴△ABC是等腰三角形，∠ABC=∠ACB==72°，
∵AB垂直平分线交AC于D，交AB于M，
∴根据中垂线的性质，中垂线上的点到线段的两个端点的距离相等．
有AD=BD，∴∠A=∠ABD=36°，
∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=72°-36°=36°，
∴BD平分∠ABC，故正确；

②∴∠BDC=180°-∠C-∠DBC=180°-72°-36°=72°，
∴BD=BC，
∴△BCD是等腰三角形．故正确；

③∠ABC=∠ACB=∠BDC=∠C，
∴△ABC∽△BCD，故正确；

④∵∠AMD=90°≠∠C=72°，
∴△AMD与△BCD不是全等三角形．故不正确．
∴①、②、③命题都正确．正确的结论是①、②、③；

（2）证明：BD平分∠ABC，
∵AB=AC，∠A=36°
∴△ABC是等腰三角形，∠ABC=∠ACB==72°，
∵AB垂直平分线交AC于D，交AB于M，
∴根据中垂线的性质，中垂线上的点到线段的两个端点的距离相等．有AD=BD，
∴∠A=∠ABD=36°，
∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=72°-36°=36°，
∴BD平分∠ABC．