Question

（2009•北京）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，∠C=45°，AD=1，BC=4，E为AB中点，EF∥DC交BC于点F，求EF的长．

Answer

可过点D作DG⊥BC于点G，解直角三角形DGC，求出DG=AB的长，进一步求出BE，再解直角三角形BEF，再解这个三角形即可；或延长FE交DA的延长线于点G，证明四边形DGFC是平行四边形，再证明△AGE≌△BFE，说明AG=BF，最后解依据DG=FC得出的一元一次方程即可．
【解析】
解法一：如图1，过点D作DG⊥BC于点G．
∵AD∥BC，∠B=90°，
∴∠A=90度．
可得四边形ABGD为矩形．
∴BG=AD=1，AB=DG．
∵BC=4，
∴GC=3．
∵∠DGC=90°，∠C=45°，
∴∠CDG=45度．
∴DG=GC=3．
∴AB=3．
又∵E为AB中点，
∴BE=AB=．
∵EF∥DC，
∴∠EFB=45度．
在△BEF中，∠B=90度．
∴EF==．

解法二：如图2，延长FE交DA的延长线于点G．
∵AD∥BC，EF∥DC，
∴四边形GFCD为平行四边形，∠G=∠1．
∴GD=FC．
∵EA=EB，∠2=∠3，
∴△GAE≌△FBE．
∴AG=BF．
∵AD=1，BC=4，
设AG=x，则BF=x，CF=4-x，GD=x+1．
∴x+1=4-x．
解得x=．∵∠C=45°，
∴∠1=45度．
在△BEF中，∠B=90°，
∴EF=．