Question

（2008•宁波）如图，点C是半圆O的半径OB上的动点，作PC⊥AB于C．点D是半圆上位于PC左侧的点，连接BD交线段PC于E，且PD=PE．
（1）求证：PD是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为，PC=，设OC=x，PD²=y．
①求y关于x的函数关系式；
②当时，求tanB的值．

Answer

（1）要证PD是⊙O的切线只要证明∠PDO=90°即可；
（2）①分别用含有x，y的式子，表示OP2和PD2这样便可得到y关于x的函数关系式；
②已知x的值，则可以根据关系式求得PD的值，已PC的值且PD=PE，从而可得到EC，BE的值，这样便可求得tanB的值．
（1）证明：连接OD．
∵OB=OD，∴∠OBD=∠ODB．                
∵PD=PE，∴∠PDE=∠PED．                
∠PDO=∠PDE+∠ODE
=∠PED+∠OBD
=∠BEC+∠OBD
=90°，
∴PD⊥OD．                            
∴PD是⊙O的切线．                       

（2）【解析】
①连接OP．
在Rt△POC中，
OP2=OC2+PC2=x2+192．                    
在Rt△PDO中，
PD2=OP2-OD2=x2+144．
∴y=x2+144（0≤x≤）．             
（x取值范围不写不扣分）
②当x=时，y=147，
∴PD=，（8分）
∴EC=，
∵CB=，
∴在Rt△ECB中，tanB===．