Question

已知，如图，矩形ABCD中，AD=6，DC=7，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在矩形ABCD的边AB，CD上，AH=2，连接CF．
（1）当四边形EFGH为正方形时，求DG的长；
（2）当△FCG的面积为1时，求DG的长；
（3）当△FCG的面积最小时，求DG的长．

Answer

（1）当四边形EFGH为正方形时，则易证AHE≌△DGH，则DG=AH=2
（2）作FM⊥DC，M为垂足，连接GE，可以证明△AHE≌△MFG，则FM=HA=2，即无论菱形EFGH如何变化，点F到直线CD的距离始终为定值2．根据△FCG的面积为1，就可以解出GC，DG的长．
（3）先求出DG的取值范围，S△FCG的面积可以表示成x的函数，根据函数的性质，就可以求出最值．
【解析】
（1）∵四边形EFGH为正方形，
∴HG=HE，
∵∠DHG+∠AHE=90°，
∠DHG+∠DGH=90°，
∴∠DGH=∠AHE，
∴△AHE≌△DGH（AAS）
∴DG=AH=2

（2）作FM⊥DC，M为垂足，连接GE，
∵AB∥CD，∴∠AEG=∠MGE
∵HE∥GF，∴∠HEG=∠FGE，
∴∠AEH=∠MGF．
在△AHE和△MFG中，∠A=∠M=90°，HE=FG，∴△AHE≌△MFG．
∴FM=HA=2，即无论菱形EFGH如何变化，点F到直线CD的距离始终为定值2．
因此S△FCG=GC=1，解得GC=1，DG=6．

（3）设DG=x，则由第（2）小题得，S△FCG=7-x，又在△AHE中，AE≤AB=7，
∴HE2≤53，∴x2+16≤53，x≤，
∴S△FCG的最小值为，此时DG=．