Question

（2008•呼和浩特）如图，已知二次函数图象的顶点坐标为C（1，1），直线y=kx+m的图象与该二次函数的图象交于A、B两点，其中A点坐标为（，），B点在y轴上，直线与x轴的交点为F，P为线段AB上的一个动点（点P与A、B不重合），过P作x轴的垂线与这个二次函数的图象交于E点．
（1）求k，m的值及这个二次函数的解析式；
（2）设线段PE的长为h，点P的横坐标为x，求h与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）D为直线AB与这个二次函数图象对称轴的交点，在线段AB上是否存在点P，使得以点P、E、D为顶点的三角形与△BOF相似？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）已知顶点C（1，1），设抛物线顶点式y=a（x-1）2+1，将A代入可求抛物线解析式，从而可得B点坐标，已知A，B两点坐标，直线y=kx+m的图象经过A、B两点，代入可求k，m的值；
（2）点P在直线y=x+2故P（x，x+2），点E在抛物线y=x2-2x+2上，故E（x，x2-2x+2），∴h=PE=h=x+2-（x-1）2-1．又P为线段AB上的一个动点（点P与A、B不重合），∴0＜x＜；
（3）在P点运动过程中，∠DPE只可能是锐角或钝角，故直角顶点只有两种对应关系，即O对D，O对E，分两种情况，写成相似比，即△PDE∽△BOF，△PED∽△BOF，分别求解．
【解析】
（1）设抛物线解析式为y=a（x-1）2+1
∵A在抛物线上
∴=a（-1）2+1
∴a=1
∴二次函数解析式为y=（x-1）2+1（或y=x2-2x+2）
令x=0得：y=2
即B（0，2）在y=kx+m上
∴m=2
把代入y=kx+2
得；

（2）h=x+2-（x-1）2-1
=-x2+x（0＜x＜）；

（3）假设存在点P，①当∠PED=∠BOF=90°时，由题意可得△PED∽△BOF
则
∴x=，
∵0＜x＜，
∴x=（舍去）
而x=＜
∴存在点P，其坐标为
②当∠PDE=∠BOF=90°时，
过点E作EK垂直于抛物线的对称轴，垂足为K．
由题意可得：△PDE∽△EKD，△PDE∽△BOF
∴△EKD∽△BOF
则
∴．
∵，舍去
而，
∴存在点P，其坐标为
综上所述存在点P满足条件，其坐标为
，．