Question

（2007•三明）已知：如图①，②，在矩形ABCD中，AB=4，BC=8，P，Q分别是边BC，CD上的点．
（1）如图①，若AP⊥PQ，BP=2，求CQ的长；
（2）如图②，若，且E，F，G分别为AP，PQ，PC的中点，求四边形EPGF的面积．

Answer

（1）、由同角的余角相等可得∠APB=∠PQC，故△ABP∽△PCQ，有，代入BP，AB，PC的值求得CQ的值；
（2）、取BP的中点H，连接EH，由三角形的中位线的性质可得四边形EHGF是直角梯形，由，设CQ=a，有BP=2a，用含a的代数式表示出EH，FG，HP，HG，两用梯形和三角形的面积公式求得S四边形EPGF=S梯形EHGF-S△EHP的值．
【解析】
（1）∵四边形ABCD是矩形
∴∠B=∠C=90°，
∴∠CPQ+∠PQC=90°，
∵AP⊥PQ，
∴∠CPQ+∠APB=90°，
∴∠APB=∠PQC，
∴△ABP∽△PCQ，
∴，即，
∴CQ=3；

（2）解法一：取BP的中点H，连接EH，由，
设CQ=a，则BP=2a，
∵E，F，G，H分别为AP，PQ，PC，BP的中点，
∴EH∥AB，FG∥CD，
又∵AB∥CD，∠B=∠C=90°，
∴EH∥FG，EH⊥BC，FG⊥BC，
∴四边形EHGF是直角梯形，
∴EH=AB=2，FG=CQ=a，HP=BP=a，HG=HP+PG=BC=4，
∴S梯形EHGF=（EH+FG）•HG=（2+a）•4=4+a，S△EHP=HP•EH=a•2=a，
∴S四边形EPGF=S梯形EHGF-S△EHP=4+a-a=4；

解法二：连接AQ，由=2，设CQ=a，则BP=2a，DQ=4-a，PC=8-2a，S△APQ=S矩形ABCD-S△ABP-S△PCQ-S△ADQ
=4×8-•2a•4-（8-2a）a-×8（4-a）
=a2-4a+16
∵E，F，G分别是AP，PQ，PC的中点
∴EF∥AQ，EF=AQ．∴△PEF∽△PAQ
∴，S△PEF=S△APQ=（a2-4a+16）
同理：S△PFG=S△PCQ=a（8-2a）
∴S四边形EPGF=S△PEF+S△PFG
=（a2-4a+16）+a（8-2a）=4．