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(2006•嘉兴)某旅游胜地欲开发一座景观山.从山的侧面进行勘测,迎面山坡线AB...

(2006•嘉兴)某旅游胜地欲开发一座景观山.从山的侧面进行勘测,迎面山坡线ABC由同一平面内的两段抛物线组成,其中AB所在的抛物线以A为顶点、开口向下,BC所在的抛物线以C为顶点、开口向上.以过山脚(点C)的水平线为x轴、过山顶(点A)的铅垂线为y轴建立平面直角坐标系如图(单位:百米).已知AB所在抛物线的解析式为y=-manfen5.com 满分网x2+8,BC所在抛物线的解析式为y=manfen5.com 满分网(x-8)2,且已知B(m,4).
(1)设P(x,y)是山坡线AB上任意一点,用y表示x,并求点B的坐标;
(2)从山顶开始、沿迎面山坡往山下铺设观景台阶.这种台阶每级的高度为20厘米,长度因坡度的大小而定,但不得小于20厘米,每级台阶的两端点在坡面上(见图).
①分别求出前三级台阶的长度(精确到厘米);
②这种台阶不能一直铺到山脚,为什么?
(3)在山坡上的700米高度(点D)处恰好有一小块平地,可以用来建造索道站.索道的起点选择在山脚水平线上的点E处,OE=1600(米).假设索道DE可近似地看成一段以E为顶点、开口向上的抛物线,解析式为y=manfen5.com 满分网(x-16)2.试求索道的最大悬空高度.

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(1)设P的坐标为(x,y)代入公式求出x与y的等式关系,然后再把B的坐标代入即可求解. (2)分别求出前三级台阶的长度,按此推理.解题时要注意题目的开放性. 【解析】 (1)∵P(x,y)是山坡线AB上任意一点, ∴y=-x2+8,x≥0, ∴x2=4(8-y),x=2 ∵B(m,4),∴m=2, ∴B(4,4)(4分) (2)在山坡线AB上,x=2,A(0,8) ①令y=8,得x=0;令y1=8-0.002=7.998, 得x1=2≈0.08944 ∴第一级台阶的长度为x1-x=0.08944(百米)≈894(厘米)(6分) 同理,令y2=8-2×0.002、y3=8-3×0.002, 可得x2≈0.12649、x3≈0.15492 ∴第二级台阶的长度为x2-x1=0.03705(百米)≈371(厘米)(7分) 第三级台阶的长度为x3-x2=0.02843(百米)≈284(厘米)(8分) ②取点B(4,4), 又取y=4+0.002,则x=2≈3.99900 ∵4-3.99900=0.001<0.002 ∴这种台阶不能从山顶一直铺到点B,从而就不能一直铺到山脚.(10分) (3)D(2,7)、E(16,0)、B(4,4)、C(8,0)由图可知, 只有当索道在BC上方时,索道的悬空高度才有可能取最大值(11分) 索道在BC上方时, 悬空高度y=(x-16)2-(x-8)2=(-3x2+40x-96)=-(x-)2+(13分) 当x=时,ymax= ∴索道的最大悬空高度为米.(14分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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